問題は、以下の2つの不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めることです。 (1) $2a^2 + b^2 \geq 4a - 2b - 3$ (2) $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めることです。

(1) $2a^2 + b^2 \geq 4a - 2b - 3$

(2) $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$

2. 解き方の手順

(1)

不等式の右辺を左辺に移項し、平方完成を行います。

$2a^2 + b^2 - 4a + 2b + 3 \geq 0$

$2(a^2 - 2a) + (b^2 + 2b) + 3 \geq 0$

$2(a^2 - 2a + 1 - 1) + (b^2 + 2b + 1 - 1) + 3 \geq 0$

$2(a - 1)^2 - 2 + (b + 1)^2 - 1 + 3 \geq 0$

$2(a - 1)^2 + (b + 1)^2 \geq 0$

ここで、$2(a-1)^2$ と $(b+1)^2$ は常に0以上の値をとります。そのため、$2(a - 1)^2 + (b + 1)^2 \geq 0$ は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$2(a-1)^2 = 0$ かつ $(b+1)^2 = 0$ のときです。

つまり、$a = 1$ かつ $b = -1$ のときです。

(2)

コーシー・シュワルツの不等式を使います。コーシー・シュワルツの不等式は、任意の実数 $a_i, b_i$ に対して

$\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2$

が成り立つというものです。

この問題では、$n = 2$ とし、$a_1 = a, a_2 = b, b_1 = x, b_2 = y$ とすると、

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$

となり、与えられた不等式が得られます。

等号が成り立つのは、$a_i$ と $b_i$ が比例するとき、すなわち $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ が成り立つときです。あるいは、$ay = bx$ のときです。

3. 最終的な答え

(1)

不等式 $2a^2 + b^2 \geq 4a - 2b - 3$ は常に成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = 1$ かつ $b = -1$ のとき。

(2)

不等式 $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2$ は常に成り立つ。

等号が成り立つのは、$ay = bx$ のとき。