放物線 $y=x^2-3x+3$ と直線 $y=x+k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2-3x+3$ と直線 $y=x+k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの式を連立させた方程式が重解を持つということです。

まず、2つの式を連立させます。

$x^2 - 3x + 3 = x + k$

整理すると、

$x^2 - 4x + (3-k) = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ であることです。判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。この問題では、$a=1, b=-4, c=3-k$ です。

$D = (-4)^2 - 4(1)(3-k) = 16 - 12 + 4k = 4 + 4k$

$D = 0$ となるのは、

$4 + 4k = 0$

$4k = -4$

$k = -1$

したがって、$k = -1$ です。

次に、接点の $x$ 座標を求めます。$k=-1$ を元の2次方程式に代入します。

$x^2 - 4x + (3 - (-1)) = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

接点の $x$ 座標は $x = 2$ です。

接点の $y$ 座標は、直線 $y = x + k$ に $x = 2$ と $k = -1$ を代入して求めます。

$y = 2 + (-1) = 1$

したがって、接点の座標は $(2, 1)$ です。

3. 最終的な答え

$k = -1$

接点の座標: $(2, 1)$