関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆関数の定義より、$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立ちます。これを利用して $a$ と $b$ の値を求めます。

まず、$f(f^{-1}(x))$ を計算します。

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f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{3x+4}{bx+2}\right) = \frac{2\left(\frac{3x+4}{bx+2}\right)+a}{\frac{3x+4}{bx+2}+3}

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分母分子に $bx+2$ を掛けて整理します。

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f(f^{-1}(x)) = \frac{2(3x+4)+a(bx+2)}{3x+4+3(bx+2)} = \frac{6x+8+abx+2a}{3x+4+3bx+6} = \frac{(6+ab)x+(8+2a)}{(3+3b)x+10}

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これが $x$ に等しくなるので、

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\frac{(6+ab)x+(8+2a)}{(3+3b)x+10} = x

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$(6+ab)x+(8+2a) = x((3+3b)x+10) = (3+3b)x^2+10x$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、$x$の係数、定数項を比較して

$3+3b = 0$ と $6+ab=10$ と $8+2a=0$ が必要になります。

$3+3b = 0$ より、$3b = -3$ なので $b = -1$

$8+2a=0$ より、$2a=-8$ なので、$a = -4$

$a=-4$ と $b=-1$ を $6+ab=10$ に代入すると、$6+(-4)(-1)=6+4=10$となり、整合性がとれます。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -1$