与えられた条件が、別の条件を満たすための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。

1. 問題の内容

与えられた条件が、別の条件を満たすための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x = y = 2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための条件を考えます。

- $x = y = 2$ のとき、$2x - y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$、そして $2y - x = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$ となり、$2x - y = 2y - x = 2$ が成り立ちます。したがって、$x = y = 2$ は $2x - y = 2y - x = 2$ であるための十分条件です。

- 逆に、$2x - y = 2y - x = 2$ が成り立つとき、$2x - y = 2$ と $2y - x = 2$ を連立方程式として解きます。

$2x - y = 2$ から $y = 2x - 2$ を得ます。

これを $2y - x = 2$ に代入すると、$2(2x - 2) - x = 2$、つまり $4x - 4 - x = 2$、 $3x = 6$、したがって $x = 2$ です。

$x = 2$ を $y = 2x - 2$ に代入すると、$y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$ となります。

したがって、$2x - y = 2y - x = 2$ が成り立つならば、$x = y = 2$ となります。

よって、$x = y = 2$ は $2x - y = 2y - x = 2$ であるための必要条件です。

- $x=y=2$ は $2x-y=2y-x=2$ であるための必要十分条件です。

(2) $x = -1$ は、$x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件を考えます。

- $x = -1$ のとき、$x^2 - x - 2 = (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ となり、$x^2 - x - 2 = 0$ が成り立ちます。したがって、$x = -1$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための十分条件です。

- 逆に、$x^2 - x - 2 = 0$ を解くと、$(x - 2)(x + 1) = 0$ となり、$x = 2$ または $x = -1$ が得られます。

したがって、$x^2 - x - 2 = 0$ が成り立つからといって、必ずしも $x = -1$ であるとは限りません。

よって、$x = -1$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための必要条件ではありません。

- $x = -1$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

(3) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件を考えます。

- $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であれば、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であることは明らかです。したがって、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ は $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であるための十分条件です。

- しかし、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であっても、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるとは限りません。$\triangle ABC$ と $\triangle PQR$ が相似であっても、対応する辺の長さが等しいとは限らないからです。例えば、$\triangle ABC$ の各辺の長さが1, 1, 1であり、$\triangle PQR$ の各辺の長さが2, 2, 2である場合、これらは相似ですが、合同ではありません。

- したがって、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための必要条件ではありません。

- $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 4