以下の2次関数に関する問題に答えます。 (1) $y = 2x^2 + 4x - 5$ のグラフの頂点を求める。 (2) $y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動したグラフの式を求める。 (3) $y = -x^2 + 6x$ の最大値を求める。 (4) $y = 3x^2 - 5x + 2$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を求める。 (5) $y = -2x^2 + x - 4$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を求める。 (6) 2次不等式 $x^2 + 6x - 16 \le 0$ を解く。 (7) 2次不等式 $x^2 - x - 6 > 0$ を解く。

はい、承知いたしました。問題文に沿って回答します。

1. 問題の内容

以下の2次関数に関する問題に答えます。

(1) $y = 2x^2 + 4x - 5$ のグラフの頂点を求める。

(2) $y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動したグラフの式を求める。

(3) $y = -x^2 + 6x$ の最大値を求める。

(4) $y = 3x^2 - 5x + 2$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を求める。

(5) $y = -2x^2 + x - 4$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を求める。

(6) 2次不等式 $x^2 + 6x - 16 \le 0$ を解く。

(7) 2次不等式 $x^2 - x - 6 > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

$y = 2x^2 + 4x - 5$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) - 5$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 5$

$y = 2((x + 1)^2 - 1) - 5$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 - 5$

$y = 2(x + 1)^2 - 7$

頂点は $(-1, -7)$ です。

(2)

$y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動すると、

$y + 1 = 2(x - 3)^2$

$y = 2(x - 3)^2 - 1$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 1$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 1$

$y = 2x^2 - 12x + 17$

(3)

$y = -x^2 + 6x$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x)$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -((x - 3)^2 - 9)$

$y = -(x - 3)^2 + 9$

最大値は 9 です。

(4)

$y = 3x^2 - 5x + 2$ と $x$ 軸との共有点の個数を求めます。

$3x^2 - 5x + 2 = 0$ を解きます。

$(3x - 2)(x - 1) = 0$

$x = \frac{2}{3}, 1$

共有点の個数は 2 個です。

(5)

$y = -2x^2 + x - 4$ と $x$ 軸との共有点の個数を求めます。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

$D = 1^2 - 4(-2)(-4) = 1 - 32 = -31$

$D < 0$ なので、共有点の個数は 0 個です。

(6)

$x^2 + 6x - 16 \le 0$ を解きます。

$(x + 8)(x - 2) \le 0$

$-8 \le x \le 2$

(7)

$x^2 - x - 6 > 0$ を解きます。

$(x - 3)(x + 2) > 0$

$x < -2$ または $x > 3$

3. 最終的な答え

(1) $(-1, -7)$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 17$

(3) $9$

(4) $2$

(5) $0$

(6) $-8 \le x \le 2$

(7) $x < -2$ または $x > 3$