問題は、2つの関数 $y=ax$ と $y = \frac{18}{x}$ のグラフに関するものです。グラフの交点Aの座標を求め、定数$a$の値を求め、関数 $y = \frac{18}{x}$ 上でx座標とy座標が共に自然数である点の個数を求め、最後に点Aからx軸とy軸に垂線を下ろし、それらとx軸、y軸との交点をそれぞれB,Cとしたとき、関数 $y=ax$ 上の点Pとy軸上の点Q(y座標は8)で作られる三角形OPQの面積が四角形OBACの面積と等しくなるとき、点Pのx座標を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、2つの関数 $y=ax$ と $y = \frac{18}{x}$ のグラフに関するものです。グラフの交点Aの座標を求め、定数$a$の値を求め、関数 $y = \frac{18}{x}$ 上でx座標とy座標が共に自然数である点の個数を求め、最後に点Aからx軸とy軸に垂線を下ろし、それらとx軸、y軸との交点をそれぞれB,Cとしたとき、関数 $y=ax$ 上の点Pとy軸上の点Q(y座標は8)で作られる三角形OPQの面積が四角形OBACの面積と等しくなるとき、点Pのx座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める

点Aは、$y = \frac{18}{x}$ 上の点で、y座標が6なので、$6 = \frac{18}{x}$ を解いて、$x$を求める。

$6x = 18$

$x = \frac{18}{6} = 3$

よって、点Aの座標は$(3, 6)$。

(2) 定数 $a$ の値を求める

点A$(3, 6)$は、$y = ax$ 上の点なので、$6 = a \times 3$を満たす。

$3a = 6$

$a = \frac{6}{3} = 2$

よって、$a = 2$。

(3) $y = \frac{18}{x}$ 上でx座標とy座標が共に自然数である点の個数を求める

$x$と$y$が共に自然数なので、$x$は18の約数となる。

$x$の候補は1, 2, 3, 6, 9, 18。

それぞれの$x$に対応する$y$の値は、18, 9, 6, 3, 2, 1。

したがって、条件を満たす点は6個。

(4) 点Pの$x$座標を求める

点A(3, 6)からx軸、y軸に下ろした垂線の足B, Cの座標はそれぞれB(3, 0), C(0, 6)。

四角形OBACの面積は、$3 \times 6 = 18$。

点Qはy軸上にあり、y座標が8なので、Q(0, 8)。

点Pは$y = 2x$上の点なので、P($x$, 2$x$)とする。

三角形OPQの面積は、$\frac{1}{2} \times OQ \times (Pのx座標) = \frac{1}{2} \times 8 \times x = 4x$

三角形OPQの面積が四角形OBACの面積と等しいので、$4x = 18$。

$x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標: (3, 6)

(2) 定数aの値: 2

(3) 条件を満たす点の個数: 6個

(4) 点Pのx座標: $\frac{9}{2}$