$a < 0$のとき、2次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $a \leq x \leq 0$ における最小値と最大値を、$a$ の範囲に応じて求める。

1. 問題の内容

$a < 0$のとき、2次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $a \leq x \leq 0$ における最小値と最大値を、$a$ の範囲に応じて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 4x + 2 = (x+2)^2 - 2$

頂点の座標は $(-2, -2)$である。軸は $x = -2$。

(1) 最小値について

- $a < -2$ のとき

定義域 $a \leq x \leq 0$ は軸 $x = -2$ を含む。よって、最小値は頂点のy座標である $-2$。

- $-2 \leq a < 0$ のとき

定義域 $a \leq x \leq 0$ は軸 $x = -2$ を含まない。$x=a$において$y$は最小値をとる。したがって、最小値は

$y = a^2 + 4a + 2$

(2) 最大値について

- $a < -4$ のとき

定義域 $a \leq x \leq 0$ において、$x=0$ で最大となる。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 + 4(0) + 2 = 2$

$a^2 + 4a + 2 = 2$より、$a=-4$ or $a = 0$

$a < -4$では、$x=a$で最大値をとる。よって、最大値は$a^2 + 4a + 2$。

- $-4 \leq a < 0$ のとき

定義域 $a \leq x \leq 0$ において、$x=0$ で最大となる。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 + 4(0) + 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1)

$a < -2$ のとき、最小値は $-2$。

$-2 \leq a < 0$ のとき、最小値は $a^2 + 4a + 2$。

(2)

$a < -4$ のとき、最大値は $a^2 + 4a + 2$。

$-4 \leq a < 0$ のとき、最大値は $2$。