与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) $x = -2$ のとき最大値4をとり、点$(0, -4)$を通る。この条件を満たす2次関数の式を求める。 (2) $y = -x^2$ のグラフを平行移動し、頂点が $y = 2x + 1$ 上にあり、点$(1, -12)$を通る。この条件を満たす2次関数の式を2つの異なる形で求める。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) $x = -2$ のとき最大値4をとり、点$(0, -4)$を通る。この条件を満たす2次関数の式を求める。

(2) $y = -x^2$ のグラフを平行移動し、頂点が $y = 2x + 1$ 上にあり、点$(1, -12)$を通る。この条件を満たす2次関数の式を2つの異なる形で求める。

2. 解き方の手順

(1)

頂点の座標が $(-2, 4)$であることから、2次関数は $y = a(x + 2)^2 + 4$ と表せます。

点$(0, -4)$を通ることから、$x = 0, y = -4$ を代入して $a$ を求めます。

$-4 = a(0 + 2)^2 + 4$

$-4 = 4a + 4$

$4a = -8$

$a = -2$

よって、2次関数は $y = -2(x + 2)^2 + 4$ となります。

(2)

$y = -x^2$ のグラフを平行移動したグラフの頂点の $x$ 座標を $p$ とすると、頂点の $y$ 座標は $2p + 1$ となります。

よって、2次関数は $y = -(x - p)^2 + 2p + 1$ と表せます。

点$(1, -12)$を通ることから、$x = 1, y = -12$ を代入して $p$ を求めます。

$-12 = -(1 - p)^2 + 2p + 1$

$-12 = -(1 - 2p + p^2) + 2p + 1$

$-12 = -1 + 2p - p^2 + 2p + 1$

$-12 = 4p - p^2$

$p^2 - 4p - 12 = 0$

$(p - 6)(p + 2) = 0$

$p = 6$ または $p = -2$

$p = 6$ のとき、$y = -(x - 6)^2 + 2(6) + 1 = -(x - 6)^2 + 13$

$p = -2$ のとき、$y = -(x + 2)^2 + 2(-2) + 1 = -(x + 2)^2 - 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2(x + 2)^2 + 4$

(2) $y = -(x + 2)^2 - 3$ および $y = -(x - 6)^2 + 13$