2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフをx軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-3、y軸方向に4平行移動すると、$y = 2x^2 + 8x + 9$ となる。このとき、$a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフをx軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-3、y軸方向に4平行移動すると、$y = 2x^2 + 8x + 9$ となる。このとき、$a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: x軸に関して対称移動

$y = ax^2 + bx + c$ をx軸に関して対称移動すると、

$y$ が $-y$ に変わるので、

$-y = ax^2 + bx + c$

$y = -ax^2 - bx - c$ となります。

ステップ2: x軸方向に-3、y軸方向に4平行移動

$y = -ax^2 - bx - c$ をx軸方向に-3、y軸方向に4平行移動すると、

$x$ が $x+3$ に、 $y$ が $y-4$ に変わるので、

$y-4 = -a(x+3)^2 - b(x+3) - c$

$y = -a(x^2 + 6x + 9) - b(x+3) - c + 4$

$y = -ax^2 - 6ax - 9a - bx - 3b - c + 4$

$y = -ax^2 - (6a+b)x - 9a - 3b - c + 4$ となります。

ステップ3: 係数比較

$y = -ax^2 - (6a+b)x - 9a - 3b - c + 4$ と $y = 2x^2 + 8x + 9$ の係数を比較すると、

$-a = 2$

$-(6a+b) = 8$

$-9a - 3b - c + 4 = 9$

ステップ4: $a, b, c$ を求める

$-a = 2$ より $a = -2$

$-(6a+b) = 8$ より $-6a - b = 8$ なので、 $-6(-2) - b = 8$

$12 - b = 8$

$b = 12 - 8 = 4$

$-9a - 3b - c + 4 = 9$ より $-9(-2) - 3(4) - c + 4 = 9$

$18 - 12 - c + 4 = 9$

$10 - c = 9$

$c = 10 - 9 = 1$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 4$

$c = 1$