関数 $f(x) = \frac{bx - 3}{x + a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ かつ $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{bx - 3}{x + a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ かつ $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f^{-1}(1) = 2$ より、$f(2) = 1$ である。

$f(2) = \frac{2b - 3}{2 + a} = 1$

したがって、$2b - 3 = 2 + a$ となり、

$a = 2b - 5$ ...(1)

$f^{-1}(3) = 0$ より、$f(0) = 3$ である。

$f(0) = \frac{b \cdot 0 - 3}{0 + a} = \frac{-3}{a} = 3$

したがって、$-3 = 3a$ となり、

$a = -1$ ...(2)

(1)式に(2)式を代入すると、

$-1 = 2b - 5$

$2b = 4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -1, b = 2$