放物線 $y = 2x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると、2点 $(-1, 0)$, $(2, 0)$ を通る。定数 $b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると、2点 $(-1, 0)$, $(2, 0)$ を通る。定数 $b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行移動後の放物線の方程式を求める。$x$軸方向に$-2$, $y$軸方向に$1$だけ平行移動した放物線の方程式は、

$$y - 1 = 2(x+2)^2 + b(x+2) + c$$

と表せる。整理すると、

$$y = 2(x^2 + 4x + 4) + bx + 2b + c + 1$$

$$y = 2x^2 + 8x + 8 + bx + 2b + c + 1$$

$$y = 2x^2 + (8+b)x + 9 + 2b + c$$

この放物線が点 $(-1, 0)$ と $(2, 0)$ を通るので、それぞれの座標を代入して $b$ と $c$ に関する連立方程式を立てる。

点 $(-1, 0)$ を代入すると、

$$0 = 2(-1)^2 + (8+b)(-1) + 9 + 2b + c$$

$$0 = 2 - 8 - b + 9 + 2b + c$$

$$0 = b + c + 3$$

点 $(2, 0)$ を代入すると、

$$0 = 2(2)^2 + (8+b)(2) + 9 + 2b + c$$

$$0 = 8 + 16 + 2b + 9 + 2b + c$$

$$0 = 4b + c + 33$$

得られた2つの式は、

$$b + c = -3$$

$$4b + c = -33$$

この連立方程式を解く。下の式から上の式を引くと、

$$3b = -30$$

$$b = -10$$

$b = -10$ を $b + c = -3$ に代入すると、

$$-10 + c = -3$$

$$c = 7$$

3. 最終的な答え

$b = -10$, $c = 7$