(1) $(a+b+c)^5$ の展開式における $ab^2c^2$ の項の係数を求めよ。 (2) $(x-2y+3z)^6$ の展開式における $x^3y^2z$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(a+b+c)^5$ の展開式における $ab^2c^2$ の項の係数を求めよ。

(2) $(x-2y+3z)^6$ の展開式における $x^3y^2z$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

多項定理より、$(a+b+c)^5$ の展開式における一般項は

$$\frac{5!}{p!q!r!} a^p b^q c^r$$

ただし、$p+q+r=5$、$p, q, r$ は非負整数である。

$ab^2c^2$ の項の係数を求めるので、$p=1, q=2, r=2$ である。

したがって、係数は

$$\frac{5!}{1!2!2!} = \frac{120}{1 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30$$

(2)

多項定理より、$(x-2y+3z)^6$ の展開式における一般項は

$$\frac{6!}{p!q!r!} x^p (-2y)^q (3z)^r = \frac{6!}{p!q!r!} (-2)^q 3^r x^p y^q z^r$$

ただし、$p+q+r=6$、$p, q, r$ は非負整数である。

$x^3y^2z$ の項の係数を求めるので、$p=3, q=2, r=1$ である。

したがって、係数は

$$\frac{6!}{3!2!1!} (-2)^2 3^1 = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{720}{12} \cdot 12 = 60 \cdot 12 = 720$$

3. 最終的な答え

(1) 30

(2) 720