与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 7$ および初期条件 $a_1 = 1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 7$ および初期条件 $a_1 = 1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$a_{n+1} = 2a_n + 7$ を $a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$ の形に変形することを考えます。

この式を展開すると $a_{n+1} + \alpha = 2a_n + 2\alpha$ となります。

$a_{n+1} = 2a_n + 2\alpha - \alpha = 2a_n + \alpha$ となるので、$\alpha = 7$ が必要です。

したがって、

$a_{n+1} + 7 = 2(a_n + 7)$

という形に変形できます。

ここで、$b_n = a_n + 7$ とおくと、$b_{n+1} = a_{n+1} + 7$ となるので、

$b_{n+1} = 2b_n$

となります。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比 2 の等比数列であることを示しています。

初項 $b_1$ は $b_1 = a_1 + 7 = 1 + 7 = 8$ です。

したがって、$b_n = 8 \cdot 2^{n-1} = 2^3 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+2}$ となります。

$b_n = a_n + 7$ より、 $a_n = b_n - 7$ となります。

よって、$a_n = 2^{n+2} - 7$ が数列 $\{a_n\}$ の一般項です。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n+2} - 7$