3次方程式 $8x^3 - 20x^2 + 14x - 3 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

3次方程式 $8x^3 - 20x^2 + 14x - 3 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

この方程式を解くために、因数定理を使用します。まず、整数解を探索します。方程式の定数項は-3なので、約数である $\pm 1$ と $\pm 3$ を試します。また、$x=1/2$を代入すると、

$8(1/2)^3 - 20(1/2)^2 + 14(1/2) - 3 = 8(1/8) - 20(1/4) + 7 - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$

よって、$x=1/2$は解の一つです。

したがって、$(2x - 1)$は因数です。

次に、多項式除算を行い、$8x^3 - 20x^2 + 14x - 3$ を $(2x - 1)$ で割ります。

```

4x^2 - 8x + 3

2x-1 | 8x^3 - 20x^2 + 14x - 3

-(8x^3 - 4x^2)

-----------------

-16x^2 + 14x

-(-16x^2 + 8x)

-----------------

6x - 3

-(6x - 3)

-----------------

0

```

したがって、$8x^3 - 20x^2 + 14x - 3 = (2x - 1)(4x^2 - 8x + 3)$ と因数分解できます。

次に、二次方程式 $4x^2 - 8x + 3 = 0$ を解きます。これは因数分解できます：

$4x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)(2x - 3) = 0$

よって、$2x-1=0$または$2x-3=0$。

$x = 1/2$ または $x = 3/2$

したがって、元の三次方程式の解は $x = 1/2, 1/2, 3/2$ です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$