$\frac{2x - 2a}{x^2 - a^2}$

## 解答

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1. 問題の内容

この問題は、与えられた2つのタイプの問題から構成されています。

* **タイプ1：式の計算**

* 問題1: $\frac{2x}{x^2 - a^2} - \frac{2a}{x^2 - a^2}$ を計算する。

* 問題2: $\frac{2}{x-1} - \frac{2x+5}{x^2 + 2x - 3}$ を計算する。

* 問題3: $\frac{2x-1}{x^2+4x} + \frac{8-x}{x^2+2x-8}$ を計算する。

* 問題4: $\frac{2}{x+1} + \frac{2x}{x-1} - \frac{x^2+3}{x^2-1}$ を計算する。

* **タイプ2：恒等式**

* 問題1: $(a+b-3)x^2 + (2a-b)x + 3b - c = 0$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

* 問題2: $x^2 - x - 3 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

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2. 解き方の手順

#### タイプ1：式の計算

**問題1:**

1. 分母が同じなので、分子を計算する。

$\frac{2x - 2a}{x^2 - a^2}$

2. 分子を $2(x-a)$ 、分母を $(x+a)(x-a)$ と因数分解する。

$\frac{2(x-a)}{(x+a)(x-a)}$

3. $(x-a)$ を約分する。

$\frac{2}{x+a}$

**問題2:**

1. $x^2 + 2x - 3$ を $(x-1)(x+3)$ と因数分解する。

$\frac{2}{x-1} - \frac{2x+5}{(x-1)(x+3)}$

2. 通分する。

$\frac{2(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{2x+5}{(x-1)(x+3)}$

3. 分子を計算する。

$\frac{2x+6 - (2x+5)}{(x-1)(x+3)}$

$\frac{1}{(x-1)(x+3)}$

4. 展開して分母を整理する（必要に応じて）。

$\frac{1}{x^2+2x-3}$

**問題3:**

1. $x^2+4x$ を $x(x+4)$ と、$x^2+2x-8$ を $(x+4)(x-2)$ と因数分解する。

$\frac{2x-1}{x(x+4)} + \frac{8-x}{(x+4)(x-2)}$

2. 通分する。

$\frac{(2x-1)(x-2)}{x(x+4)(x-2)} + \frac{(8-x)x}{x(x+4)(x-2)}$

3. 分子を計算する。

$\frac{2x^2-5x+2 + 8x-x^2}{x(x+4)(x-2)}$

$\frac{x^2+3x+2}{x(x+4)(x-2)}$

4. 分子を $(x+1)(x+2)$ と因数分解する。

$\frac{(x+1)(x+2)}{x(x+4)(x-2)}$

約分できる項はないため、このまま。

**問題4:**

1. $x^2-1$ を $(x+1)(x-1)$ と因数分解する。

$\frac{2}{x+1} + \frac{2x}{x-1} - \frac{x^2+3}{(x+1)(x-1)}$

2. 通分する。

$\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x+1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{x^2+3}{(x+1)(x-1)}$

3. 分子を計算する。

$\frac{2x-2 + 2x^2+2x - (x^2+3)}{(x+1)(x-1)}$

$\frac{x^2+4x-5}{(x+1)(x-1)}$

4. 分子を $(x+5)(x-1)$ と因数分解する。

$\frac{(x+5)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$

5. $(x-1)$ を約分する。

$\frac{x+5}{x+1}$

#### タイプ2：恒等式

**問題1:**

恒等式なので、$x$ のすべての値に対して等式が成り立つ。つまり、$x^2$、$x$、定数項の係数がすべて0でなければならない。

1. $x^2$ の係数: $a + b - 3 = 0$

2. $x$ の係数: $2a - b = 0$

3. 定数項: $3b - c = 0$

連立方程式を解く。

1. 式(1)と式(2)から、$a$と$b$を求める。

$a + b = 3$

$2a - b = 0$

2つの式を足すと、$3a = 3$ より $a=1$。

$a=1$を$a+b=3$に代入すると、$1+b=3$より$b=2$。

2. 式(3)から、$c$を求める。

$3b - c = 0$

$3(2) - c = 0$ より $c = 6$。

**問題2:**

1. 右辺を展開する。

$a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

2. 整理する。

$ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

3. 左辺と右辺の係数を比較する。

$x^2 - x - 3 = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

4. 係数に関する等式を立てる。

$x^2$ の係数: $a = 1$

$x$ の係数: $-2a + b = -1$

定数項: $a - b + c = -3$

5. 連立方程式を解く。

$a = 1$

$-2(1) + b = -1$ より $b = 1$

$1 - 1 + c = -3$ より $c = -3$

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3. 最終的な答え

#### タイプ1：式の計算

* 問題1: $\frac{2}{x+a}$

* 問題2: $\frac{1}{x^2+2x-3}$

* 問題3: $\frac{(x+1)(x+2)}{x(x+4)(x-2)}$

* 問題4: $\frac{x+5}{x+1}$

#### タイプ2：恒等式

* 問題1: $a = 1$, $b = 2$, $c = 6$

* 問題2: $a = 1$, $b = 1$, $c = -3$