多項式 $A = a^3 - a^2x - 8ax^2 + 6x^3$ を多項式 $B = 3x - a$ で割ったときの商と余りを求める問題です。$A$と$B$はどちらも$x$の多項式として扱います。

1. 問題の内容

多項式 $A = a^3 - a^2x - 8ax^2 + 6x^3$ を多項式 $B = 3x - a$ で割ったときの商と余りを求める問題です。$A$と$B$はどちらも$x$の多項式として扱います。

2. 解き方の手順

多項式$A$を多項式$B$で割ります。筆算を行うとわかりやすいです。

まず、$A$と$B$を$x$の降べきの順に並べます。

$A = 6x^3 - 8ax^2 - a^2x + a^3$

$B = 3x - a$

1. $A$ の最初の項 $6x^3$ を $B$ の最初の項 $3x$ で割ります。

$6x^3 / 3x = 2x^2$

これが商の最初の項です。

2. $B$ に $2x^2$ を掛けます。

$(3x - a) \cdot 2x^2 = 6x^3 - 2ax^2$

3. $A$ から $6x^3 - 2ax^2$ を引きます。

$(6x^3 - 8ax^2 - a^2x + a^3) - (6x^3 - 2ax^2) = -6ax^2 - a^2x + a^3$

4. 次に、$ -6ax^2$ を $3x$ で割ります。

$-6ax^2 / 3x = -2ax$

これが商の次の項です。

5. $B$ に $ -2ax$ を掛けます。

$(3x - a) \cdot (-2ax) = -6ax^2 + 2a^2x$

6. $ -6ax^2 - a^2x + a^3$ から $ -6ax^2 + 2a^2x$ を引きます。

$(-6ax^2 - a^2x + a^3) - (-6ax^2 + 2a^2x) = -3a^2x + a^3$

7. 次に、 $-3a^2x$ を $3x$ で割ります。

$-3a^2x / 3x = -a^2$

これが商の次の項です。

8. $B$ に $ -a^2$ を掛けます。

$(3x - a) \cdot (-a^2) = -3a^2x + a^3$

9. $-3a^2x + a^3$ から $ -3a^2x + a^3$ を引きます。

$(-3a^2x + a^3) - (-3a^2x + a^3) = 0$

商は $2x^2 - 2ax - a^2$ で、余りは $0$ です。

3. 最終的な答え

商: $2x^2 - 2ax - a^2$

余り: $0$