問題3: (1) $(a+b+c)^4$ の展開式における $abc^2$ の項の係数を求める。 (2) $(x-2y+3z)^5$ の展開式における $xyz^3$ の項の係数を求める。 問題4: $A = a-ax-8ax^2+6x^3$ と $B = 3x-e$ について、$A$ を $B$ で割った商と余りを求める。

1. 問題の内容

問題3:

(1) $(a+b+c)^4$ の展開式における $abc^2$ の項の係数を求める。

(2) $(x-2y+3z)^5$ の展開式における $xyz^3$ の項の係数を求める。

問題4:

$A = a-ax-8ax^2+6x^3$ と $B = 3x-e$ について、$A$ を $B$ で割った商と余りを求める。

2. 解き方の手順

問題3:

(1) $(a+b+c)^4$ の展開式における $abc^2$ の項の係数は、多項定理より、

$\frac{4!}{1!1!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 1 \times 2 \times 1} = 12$

(2) $(x-2y+3z)^5$ の展開式における $xyz^3$ の項の係数は、多項定理より、

$\frac{5!}{1!1!3!} (1)^1 (-2)^1 (3)^3 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} \times 1 \times (-2) \times 27 = 20 \times (-2) \times 27 = -1080$

問題4:

$A = 6x^3 - 8ax^2 - ax + a$ を $B = 3x-e$ で割る。

筆算を行う。

$6x^3 - 8ax^2 - ax + a = (3x-e)(2x^2 + \frac{2e-8a}{3}x + \frac{2e^2-8ae-3a}{9}) + \frac{2e^3 - 8ae^2 - 3ae + 9a}{9}$

商: $2x^2 + \frac{2e-8a}{3}x + \frac{2e^2-8ae-3a}{9}$

余り: $\frac{2e^3 - 8ae^2 - 3ae + 9a}{9}$

3. 最終的な答え

問題3:

(1) 12

(2) -1080

問題4:

商: $2x^2 + \frac{2e-8a}{3}x + \frac{2e^2-8ae-3a}{9}$

余り: $\frac{2e^3 - 8ae^2 - 3ae + 9a}{9}$