与えられた行列 $D, E, F, G$ を用いて、以下の行列演算を実行する。 (1) $E + D$ (2) $E + 2D$ (3) $2D - 3E$ (4) $E^T$ (5) $F^T$ (6) $GD$ (7) $G^T F$ (8) $DE$ (9) $E G^T$ (10) $D^T G$ (11) $6D$ (12) $E - D$ 行列は以下の通りである。 $D = \begin{pmatrix} 2 & 36 & 1 \\ 3 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ $E = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix}$ $F = \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 12 \end{pmatrix}$ $G = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 0 \\ 5 & 9 & 11 \end{pmatrix}$

## 問1

1. **問題の内容**

与えられた行列 $D, E, F, G$ を用いて、以下の行列演算を実行する。

(1) $E + D$

(2) $E + 2D$

(3) $2D - 3E$

(4) $E^T$

(5) $F^T$

(6) $GD$

(7) $G^T F$

(8) $DE$

(9) $E G^T$

(10) $D^T G$

(11) $6D$

(12) $E - D$

行列は以下の通りである。

$D = \begin{pmatrix} 2 & 36 & 1 \\ 3 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

$E = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

$F = \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 12 \end{pmatrix}$

$G = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 0 \\ 5 & 9 & 11 \end{pmatrix}$

2. **解き方の手順**

各行列演算は、行列の和、スカラー倍、行列の積、転置の定義に従って行う。

(1) $E + D = \begin{pmatrix} 4+2 & 4+36 & 4+1 \\ 4+3 & 5+3 & 6+5 \\ 3+1 & 7+2 & 8+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 40 & 5 \\ 7 & 8 & 11 \\ 4 & 9 & 12 \end{pmatrix}$

(2) $E + 2D = \begin{pmatrix} 4+2(2) & 4+2(36) & 4+2(1) \\ 4+2(3) & 5+2(3) & 6+2(5) \\ 3+2(1) & 7+2(2) & 8+2(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 76 & 6 \\ 10 & 11 & 16 \\ 5 & 11 & 16 \end{pmatrix}$

(3) $2D - 3E = \begin{pmatrix} 2(2)-3(4) & 2(36)-3(4) & 2(1)-3(4) \\ 2(3)-3(4) & 2(3)-3(5) & 2(5)-3(6) \\ 2(1)-3(3) & 2(2)-3(7) & 2(4)-3(8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 60 & -10 \\ -6 & -9 & -8 \\ -7 & -17 & -16 \end{pmatrix}$

(4) $E^T = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}$

(5) $F^T = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$

(6) $GD = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 0 \\ 5 & 9 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 36 & 1 \\ 3 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12+12+0 & 216+12+0 & 6+20+0 \\ 10+27+11 & 180+27+22 & 5+45+44 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 & 228 & 26 \\ 48 & 229 & 94 \end{pmatrix}$

(7) $G^T F = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 9 \\ 0 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 54+40 & 18+60 \\ 36+72 & 12+108 \\ 0+88 & 0+132 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 94 & 78 \\ 108 & 120 \\ 88 & 132 \end{pmatrix}$

(8) $DE = \begin{pmatrix} 2 & 36 & 1 \\ 3 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+144+3 & 8+180+7 & 8+216+8 \\ 12+12+15 & 12+15+35 & 12+18+40 \\ 4+8+12 & 4+10+28 & 4+12+32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 155 & 195 & 232 \\ 39 & 62 & 70 \\ 24 & 42 & 48 \end{pmatrix}$

(9) $E G^T = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 9 \\ 0 & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24+16+0 & 20+36+44 \\ 24+20+0 & 20+45+66 \\ 18+28+0 & 15+63+88 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 & 100 \\ 44 & 131 \\ 46 & 166 \end{pmatrix}$

(10) $D^T G = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 36 & 3 & 2 \\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 4 & 0 \\ 5 & 9 & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12+15+5 & 8+27+11 & 0+33+44 \\ 216+15+10 & 144+27+18 & 0+33+22 \\ 6+25+20 & 4+45+36 & 0+55+44 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 & 46 & 77 \\ 241 & 189 & 55 \\ 51 & 85 & 99 \end{pmatrix}$

(11) $6D = \begin{pmatrix} 6(2) & 6(36) & 6(1) \\ 6(3) & 6(3) & 6(5) \\ 6(1) & 6(2) & 6(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 216 & 6 \\ 18 & 18 & 30 \\ 6 & 12 & 24 \end{pmatrix}$

(12) $E - D = \begin{pmatrix} 4-2 & 4-36 & 4-1 \\ 4-3 & 5-3 & 6-5 \\ 3-1 & 7-2 & 8-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -32 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$

3. **最終的な答え**

(1) $E + D = \begin{pmatrix} 6 & 40 & 5 \\ 7 & 8 & 11 \\ 4 & 9 & 12 \end{pmatrix}$

(2) $E + 2D = \begin{pmatrix} 8 & 76 & 6 \\ 10 & 11 & 16 \\ 5 & 11 & 16 \end{pmatrix}$

(3) $2D - 3E = \begin{pmatrix} -8 & 60 & -10 \\ -6 & -9 & -8 \\ -7 & -17 & -16 \end{pmatrix}$

(4) $E^T = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}$

(5) $F^T = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$

(6) $GD = \begin{pmatrix} 24 & 228 & 26 \\ 48 & 229 & 94 \end{pmatrix}$

(7) $G^T F = \begin{pmatrix} 94 & 78 \\ 108 & 120 \\ 88 & 132 \end{pmatrix}$

(8) $DE = \begin{pmatrix} 155 & 195 & 232 \\ 39 & 62 & 70 \\ 24 & 42 & 48 \end{pmatrix}$

(9) $E G^T = \begin{pmatrix} 40 & 100 \\ 44 & 131 \\ 46 & 166 \end{pmatrix}$

(10) $D^T G = \begin{pmatrix} 32 & 46 & 77 \\ 241 & 189 & 55 \\ 51 & 85 & 99 \end{pmatrix}$

(11) $6D = \begin{pmatrix} 12 & 216 & 6 \\ 18 & 18 & 30 \\ 6 & 12 & 24 \end{pmatrix}$

(12) $E - D = \begin{pmatrix} 2 & -32 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$

## 問2

1. **問題の内容**

次の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く。

(1)

$$

\begin{cases}

3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 1 \\

x_2 + 2x_3 = 0 \\

2x_1 + 2x_2 = 3

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x_1 + x_2 + 5x_3 = 5 \\

5x_1 + x_2 + 2x_3 = 2 \\

3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 4

\end{cases}

$$

2. **解き方の手順**

クラメルの公式を用いて、各変数の解を求める。

$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$

ここで、$A$ は係数行列、$A_i$ は $A$ の $i$ 列目を定数ベクトルで置き換えた行列である。

(1)

係数行列 $A$ は以下の通り。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 3(1(0) - 2(2)) - 2(0(0) - 2(2)) + 6(0(2) - 1(2)) = 3(-4) - 2(-4) + 6(-2) = -12 + 8 - 12 = -16$

$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$\det(A_1) = 1(1(0) - 2(2)) - 2(0(0) - 2(3)) + 6(0(2) - 1(3)) = 1(-4) - 2(-6) + 6(-3) = -4 + 12 - 18 = -10$

$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-10}{-16} = \frac{5}{8}$

$A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$\det(A_2) = 3(0(0) - 2(3)) - 1(0(0) - 2(2)) + 6(0(3) - 0(2)) = 3(-6) - 1(-4) + 6(0) = -18 + 4 = -14$

$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-14}{-16} = \frac{7}{8}$

$A_3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$\det(A_3) = 3(1(3) - 0(2)) - 2(0(3) - 0(2)) + 1(0(2) - 1(2)) = 3(3) - 2(0) + 1(-2) = 9 - 2 = 7$

$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{7}{-16} = -\frac{7}{16}$

(2)

係数行列 $A$ は以下の通り。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(1(2) - 2(3)) - 1(5(2) - 2(3)) + 5(5(3) - 1(3)) = 1(2-6) - 1(10-6) + 5(15-3) = -4 - 4 + 5(12) = -8 + 60 = 52$

$A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A_1) = 5(1(2) - 2(3)) - 1(2(2) - 2(4)) + 5(2(3) - 1(4)) = 5(2-6) - 1(4-8) + 5(6-4) = 5(-4) - 1(-4) + 5(2) = -20 + 4 + 10 = -6$

$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-6}{52} = -\frac{3}{26}$

$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 \\ 5 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A_2) = 1(2(2) - 2(4)) - 5(5(2) - 2(3)) + 5(5(4) - 2(3)) = 1(4-8) - 5(10-6) + 5(20-6) = -4 - 5(4) + 5(14) = -4 - 20 + 70 = 46$

$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{46}{52} = \frac{23}{26}$

$A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

$\det(A_3) = 1(1(4) - 2(3)) - 1(5(4) - 2(3)) + 5(5(3) - 1(3)) = 1(4-6) - 1(20-6) + 5(15-3) = -2 - 14 + 5(12) = -16 + 60 = 44$

$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{44}{52} = \frac{11}{13}$

3. **最終的な答え**

(1)

$x_1 = \frac{5}{8}, x_2 = \frac{7}{8}, x_3 = -\frac{7}{16}$

(2)

$x_1 = -\frac{3}{26}, x_2 = \frac{23}{26}, x_3 = \frac{11}{13}$