与えられた2つの関数 $f(x) = x^2 + 2$ （$x \ge 0$）と $g(x) = \sqrt{x - 2}$ （$x \ge 2$）について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x) = x^2 + 2$ （$x \ge 0$）と $g(x) = \sqrt{x - 2}$ （$x \ge 2$）について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(f \circ f)(x)$ を求める。これは $f(f(x))$ を意味する。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、

$f(f(x)) = f(x^2 + 2) = (x^2 + 2)^2 + 2$

$(x^2 + 2)^2$ を展開すると、$x^4 + 4x^2 + 4$ となる。

よって、$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$

次に、$(f \circ g)(x)$ を求める。これは $f(g(x))$ を意味する。

$g(x) = \sqrt{x - 2}$ なので、

$f(g(x)) = f(\sqrt{x - 2}) = (\sqrt{x - 2})^2 + 2$

$(\sqrt{x - 2})^2 = x - 2$ となる。

よって、$f(g(x)) = x - 2 + 2 = x$

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$

$(f \circ g)(x) = x$