$g(x) = -x + 1$ とする。$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす1次関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$g(x) = -x + 1$ とする。$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす1次関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を1次関数なので $f(x) = ax + b$ とおきます。

条件1: $(f \circ f)(x) = x$ より

$f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b = x$

したがって、$a^2 = 1$ かつ $ab + b = 0$ である必要があります。

$a^2 = 1$ より、$a = 1$ または $a = -1$ が得られます。

(i) $a = 1$ のとき、$b + b = 0$ より $2b = 0$ なので $b = 0$。

このとき、$f(x) = x$ となります。

(ii) $a = -1$ のとき、$-b + b = 0$ となり、$b$ は任意の実数です。

このとき、$f(x) = -x + b$ となります。

条件2: $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ より

$f(g(x)) = f(-x + 1) = a(-x + 1) + b = -ax + a + b$

$g(f(x)) = g(ax + b) = -(ax + b) + 1 = -ax - b + 1$

したがって、$-ax + a + b = -ax - b + 1$ となる必要があります。

これは $a + b = -b + 1$ 、つまり $a + 2b = 1$ を意味します。

(i) $f(x) = x$ の場合、$a = 1$, $b = 0$ なので、$1 + 2(0) = 1$ となり条件を満たします。

(ii) $f(x) = -x + b$ の場合、$a = -1$ なので、$-1 + 2b = 1$ となり、$2b = 2$ より $b = 1$ となります。

したがって、$f(x) = -x + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$