関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a \ne -\frac{4}{3}$ かつ $b \ne \frac{3}{2}$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a \ne -\frac{4}{3}$ かつ $b \ne \frac{3}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $(g \circ f)(x)$ を計算する。

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right)$ であるから、

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g\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) = \frac{3\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) + 4}{b\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) + 2}

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分子と分母に $(x + 3)$ をかけると、

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\frac{3(ax - 4) + 4(x + 3)}{b(ax - 4) + 2(x + 3)} = \frac{3ax - 12 + 4x + 12}{abx - 4b + 2x + 6} = \frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)}

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これが $x$ に等しいので、

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\frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)} = x

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$(3a + 4)x = x((ab + 2)x + (6 - 4b))$

$(3a + 4)x = (ab + 2)x^2 + (6 - 4b)x$

恒等式として、$x^2$ の係数と定数項は $0$ でなくてはならない。

$ab + 2 = 0$

$3a + 4 = 6 - 4b$

$6 - 4b = 3a + 4$ より $3a + 4b = 2$

また、$ab = -2$ より、$b = -\frac{2}{a}$

$3a + 4 \left(-\frac{2}{a}\right) = 2$

$3a - \frac{8}{a} = 2$

$3a^2 - 8 = 2a$

$3a^2 - 2a - 8 = 0$

$(3a + 4)(a - 2) = 0$

$a = -\frac{4}{3}$ または $a = 2$

$a \ne -\frac{4}{3}$ より、$a = 2$

$b = -\frac{2}{a} = -\frac{2}{2} = -1$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -1$