関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ f)(x)$ は、$f(f(x))$ と定義されます。

まず、$f(x)$ を $f$ の引数に代入します。

$f(f(x)) = f(\frac{x-1}{x}) = \frac{\frac{x-1}{x}-1}{\frac{x-1}{x}}$

次に、この式を整理します。

$f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{x-1-x}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

さらに整理すると、

$f(f(x)) = \frac{-1}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{x-1}$

したがって、合成関数 $(f \circ f)(x)$ は $\frac{-1}{x-1}$ となります。

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = \frac{-1}{x-1}$