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与えられた3つの行列式を計算する問題です。それぞれの行列式を(1), (2), (3)とします。

代数学行列式線形代数
2025/7/30

1. 問題の内容

与えられた3つの行列式を計算する問題です。それぞれの行列式を(1), (2), (3)とします。

2. 解き方の手順

(1) 3x3行列の行列式を計算します。
∣12−535−13−762∣ \begin{vmatrix} 12 & -5 & 3 \\ 5 & -1 & 3 \\ -7 & 6 & 2 \end{vmatrix}
行列式を計算するには、以下のように展開します。
12∣−1362∣−(−5)∣53−72∣+3∣5−1−76∣12 \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} - (-5) \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -7 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -7 & 6 \end{vmatrix}
=12((−1)(2)−(3)(6))+5((5)(2)−(3)(−7))+3((5)(6)−(−1)(−7))= 12((-1)(2) - (3)(6)) + 5((5)(2) - (3)(-7)) + 3((5)(6) - (-1)(-7))
=12(−2−18)+5(10+21)+3(30−7)= 12(-2 - 18) + 5(10 + 21) + 3(30 - 7)
=12(−20)+5(31)+3(23)= 12(-20) + 5(31) + 3(23)
=−240+155+69= -240 + 155 + 69
=−16= -16
(2) 4x4行列の行列式を計算します。
∣3410−123−4043141−15∣ \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 4 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}
1行目について展開します。
3∣23−44311−15∣−4∣−13−40314−15∣+1∣−12−4041415∣−0∣−12304341−1∣3 \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} -1 & 3 & -4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 5 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 5 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \\ 4 & 1 & -1 \end{vmatrix}
3x3行列の行列式を計算します。
∣23−44311−15∣=2(15+1)−3(20−1)−4(−4−3)=32−57+28=3\begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 2(15+1) - 3(20-1) - 4(-4-3) = 32 - 57 + 28 = 3
∣−13−40314−15∣=−1(15+1)−3(0−4)−4(0−12)=−16+12+48=44\begin{vmatrix} -1 & 3 & -4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 5 \end{vmatrix} = -1(15+1) - 3(0-4) - 4(0-12) = -16 + 12 + 48 = 44
∣−12−4041415∣=−1(20−1)−2(0−4)−4(0−16)=−19+8+64=53\begin{vmatrix} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 5 \end{vmatrix} = -1(20-1) - 2(0-4) - 4(0-16) = -19 + 8 + 64 = 53
よって、3(3)−4(44)+1(53)=9−176+53=−1143(3) - 4(44) + 1(53) = 9 - 176 + 53 = -114
(3) 4x4行列の行列式を計算します。
∣2x54203023x10−201−1∣ \begin{vmatrix} 2x & 5 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 3 & x & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}
2行目について展開します。
−0+3∣2x42310−21−1∣−0+(−1)5(2)∣2x543x1−201∣-0 + 3 \begin{vmatrix} 2x & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 + (-1)^5 (2) \begin{vmatrix} 2x & 5 & 4 \\ 3 & x & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}
3∣2x42310−21−1∣=3(2x(−1−0)−4(−3−0)+2(3+2))=3(−2x+12+10)=3(−2x+22)=−6x+663 \begin{vmatrix} 2x & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 3(2x(-1-0) - 4(-3-0) + 2(3+2)) = 3(-2x + 12 + 10) = 3(-2x+22) = -6x+66
−2∣2x543x1−201∣=−2(2x(x−0)−5(3+2)+4(0+2x))=−2(2x2−25+8x)=−4x2−16x+50-2 \begin{vmatrix} 2x & 5 & 4 \\ 3 & x & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -2(2x(x-0) - 5(3+2) + 4(0+2x)) = -2(2x^2 - 25 + 8x) = -4x^2 - 16x + 50
行列式は −6x+66−4x2−16x+50=−4x2−22x+116-6x+66 -4x^2 -16x + 50 = -4x^2 -22x + 116

3. 最終的な答え

(1) -16
(2) -114
(3) −4x2−22x+116-4x^2 -22x + 116

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