与えられた6つの2次不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

各不等式について、以下の手順で解きます。

(1) $(x-3)(x-5) > 0$

* $x-3 = 0$ および $x-5 = 0$ を解き、$x = 3$ および $x = 5$ を得ます。

* 数直線上において、$x=3$と$x=5$を境界として、$x<3$, $3<x<5$, $x>5$の3つの領域に分割します。

* それぞれの領域において、不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x < 3$ のとき、$x-3 < 0$ かつ $x-5 < 0$ であるため、$(x-3)(x-5) > 0$ となり、不等式は成立します。

* $3 < x < 5$ のとき、$x-3 > 0$ かつ $x-5 < 0$ であるため、$(x-3)(x-5) < 0$ となり、不等式は成立しません。

* $x > 5$ のとき、$x-3 > 0$ かつ $x-5 > 0$ であるため、$(x-3)(x-5) > 0$ となり、不等式は成立します。

* したがって、解は $x < 3$ または $x > 5$ となります。

(2) $(x+3)(x-2) \le 0$

* $x+3 = 0$ および $x-2 = 0$ を解き、$x = -3$ および $x = 2$ を得ます。

* 数直線上において、$x=-3$と$x=2$を境界として、$x<-3$, $-3<x<2$, $x>2$の3つの領域に分割します。

* それぞれの領域において、不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x < -3$ のとき、$x+3 < 0$ かつ $x-2 < 0$ であるため、$(x+3)(x-2) > 0$ となり、不等式は成立しません。

* $-3 < x < 2$ のとき、$x+3 > 0$ かつ $x-2 < 0$ であるため、$(x+3)(x-2) < 0$ となり、不等式は成立します。

* $x > 2$ のとき、$x+3 > 0$ かつ $x-2 > 0$ であるため、$(x+3)(x-2) > 0$ となり、不等式は成立しません。

* 境界の値を含める必要があるため、解は $-3 \le x \le 2$ となります。

(3) $x^2 - 7x + 12 < 0$

* $x^2 - 7x + 12 = 0$ を因数分解すると、$(x-3)(x-4) = 0$ となります。

* $x = 3$ および $x = 4$ を得ます。

* 数直線上において、$x=3$と$x=4$を境界として、$x<3$, $3<x<4$, $x>4$の3つの領域に分割します。

* それぞれの領域において、不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x < 3$ のとき、$x-3 < 0$ かつ $x-4 < 0$ であるため、$(x-3)(x-4) > 0$ となり、不等式は成立しません。

* $3 < x < 4$ のとき、$x-3 > 0$ かつ $x-4 < 0$ であるため、$(x-3)(x-4) < 0$ となり、不等式は成立します。

* $x > 4$ のとき、$x-3 > 0$ かつ $x-4 > 0$ であるため、$(x-3)(x-4) > 0$ となり、不等式は成立しません。

* したがって、解は $3 < x < 4$ となります。

(4) $x^2 + 3x - 4 \ge 0$

* $x^2 + 3x - 4 = 0$ を因数分解すると、$(x+4)(x-1) = 0$ となります。

* $x = -4$ および $x = 1$ を得ます。

* 数直線上において、$x=-4$と$x=1$を境界として、$x<-4$, $-4<x<1$, $x>1$の3つの領域に分割します。

* それぞれの領域において、不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x < -4$ のとき、$x+4 < 0$ かつ $x-1 < 0$ であるため、$(x+4)(x-1) > 0$ となり、不等式は成立します。

* $-4 < x < 1$ のとき、$x+4 > 0$ かつ $x-1 < 0$ であるため、$(x+4)(x-1) < 0$ となり、不等式は成立しません。

* $x > 1$ のとき、$x+4 > 0$ かつ $x-1 > 0$ であるため、$(x+4)(x-1) > 0$ となり、不等式は成立します。

* 境界の値を含める必要があるため、解は $x \le -4$ または $x \ge 1$ となります。

(5) $x^2 + 5x + 6 \le 0$

* $x^2 + 5x + 6 = 0$ を因数分解すると、$(x+2)(x+3) = 0$ となります。

* $x = -2$ および $x = -3$ を得ます。

* 数直線上において、$x=-3$と$x=-2$を境界として、$x<-3$, $-3<x<-2$, $x>-2$の3つの領域に分割します。

* それぞれの領域において、不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x < -3$ のとき、$x+2 < 0$ かつ $x+3 < 0$ であるため、$(x+2)(x+3) > 0$ となり、不等式は成立しません。

* $-3 < x < -2$ のとき、$x+2 < 0$ かつ $x+3 > 0$ であるため、$(x+2)(x+3) < 0$ となり、不等式は成立します。

* $x > -2$ のとき、$x+2 > 0$ かつ $x+3 > 0$ であるため、$(x+2)(x+3) > 0$ となり、不等式は成立しません。

* 境界の値を含める必要があるため、解は $-3 \le x \le -2$ となります。

(6) $x^2 - 4 \ge 0$

* $x^2 - 4 = 0$ を因数分解すると、$(x-2)(x+2) = 0$ となります。

* $x = 2$ および $x = -2$ を得ます。

* 数直線上において、$x=-2$と$x=2$を境界として、$x<-2$, $-2<x<2$, $x>2$の3つの領域に分割します。

* それぞれの領域において、不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x < -2$ のとき、$x-2 < 0$ かつ $x+2 < 0$ であるため、$(x-2)(x+2) > 0$ となり、不等式は成立します。

* $-2 < x < 2$ のとき、$x-2 < 0$ かつ $x+2 > 0$ であるため、$(x-2)(x+2) < 0$ となり、不等式は成立しません。

* $x > 2$ のとき、$x-2 > 0$ かつ $x+2 > 0$ であるため、$(x-2)(x+2) > 0$ となり、不等式は成立します。

* 境界の値を含める必要があるため、解は $x \le -2$ または $x \ge 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x < 3$ または $x > 5$

(2) $-3 \le x \le 2$

(3) $3 < x < 4$

(4) $x \le -4$ または $x \ge 1$

(5) $-3 \le x \le -2$

(6) $x \le -2$ または $x \ge 2$