$2+\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$、$b$ の値を求め、さらに $ab+b^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$2+\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$、$b$ の値を求め、さらに $ab+b^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7}$ の近似値を求めます。$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9} = 3$ であるから、$2 < \sqrt{7} < 3$ であることがわかります。

さらに、$\sqrt{7}$ は2と3の間にあり、2に近いので、2.6程度の数であることを予測します。実際には、2.645...となります。

したがって、$2 + \sqrt{7}$ は $2 + 2.645... = 4.645...$ となり、$2 + \sqrt{7}$ の整数部分は4となります。よって、$a = 4$ です。

小数部分 $b$ は、$2+\sqrt{7}$ から整数部分 $a$ を引いたものなので、$b = (2+\sqrt{7}) - a = (2+\sqrt{7}) - 4 = \sqrt{7} - 2$ となります。

次に、$ab+b^2$ の値を求めます。これは $b(a+b)$ と変形できます。

$a+b = 4 + (\sqrt{7} - 2) = 2 + \sqrt{7}$ であるから、

$b(a+b) = (\sqrt{7}-2)(2+\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = \sqrt{7} - 2$

$ab+b^2 = 3$