(9) 頂点が (1, 2) で、点 (2, 4) を通る二次関数を求める。 (10) 直線 $y = 2ax + b$ ($1 < x < 5$) の値域が $3 < y < 12$ となるように、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(9) 頂点が (1, 2) で、点 (2, 4) を通る二次関数を求める。

(10) 直線 $y = 2ax + b$ ($1 < x < 5$) の値域が $3 < y < 12$ となるように、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(9) 二次関数は頂点の座標がわかっているので、

$y = a(x - 1)^2 + 2$ と置くことができる。

この式に点 (2, 4) を代入すると、

$4 = a(2 - 1)^2 + 2$

$4 = a + 2$

$a = 2$

したがって、二次関数は

$y = 2(x - 1)^2 + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2 = 2x^2 - 4x + 4$

(10) 直線 $y = 2ax + b$ の定義域が $1 < x < 5$ で、値域が $3 < y < 12$ である。

$x$ が増加すると $y$ も増加する（$a > 0$の場合）と、$x$ が増加すると $y$ が減少する ($a < 0$ の場合)の2パターンが考えられる。

(i) $a > 0$ の場合

$x = 1$ のとき $y = 3$

$x = 5$ のとき $y = 12$

であるから、

$2a(1) + b = 3$

$2a(5) + b = 12$

連立方程式を解くと、

$2a + b = 3$

$10a + b = 12$

2式を引き算すると、

$8a = 9$

$a = \frac{9}{8}$

$b = 3 - 2a = 3 - 2(\frac{9}{8}) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$

$a = \frac{9}{8} > 0$ なので、これは条件を満たす。

(ii) $a < 0$ の場合

$x = 1$ のとき $y = 12$

$x = 5$ のとき $y = 3$

であるから、

$2a(1) + b = 12$

$2a(5) + b = 3$

連立方程式を解くと、

$2a + b = 12$

$10a + b = 3$

2式を引き算すると、

$-8a = 9$

$a = -\frac{9}{8}$

$b = 12 - 2a = 12 - 2(-\frac{9}{8}) = 12 + \frac{9}{4} = \frac{48 + 9}{4} = \frac{57}{4}$

$a = -\frac{9}{8} < 0$ なので、これは条件を満たす。

3. 最終的な答え

(9) $y = 2x^2 - 4x + 4$

(10) $a = \frac{9}{8}$, $b = \frac{3}{4}$ または $a = -\frac{9}{8}$, $b = \frac{57}{4}$