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次の行列式を因数分解する問題です。 $ \begin{vmatrix} x & y & y & y \\ x & y & x & x \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix} $

代数学行列式因数分解
2025/7/30

1. 問題の内容

次の行列式を因数分解する問題です。
\begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
x & y & x & x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算しやすいように変形します。
1行目を2行目、3行目、4行目から引きます。
\begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
x-x & y-y & x-y & x-y \\
y-x & y-y & y-y & x-y \\
x-x & x-y & y-y & x-y
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
0 & 0 & x-y & x-y \\
y-x & 0 & 0 & x-y \\
0 & x-y & 0 & x-y
\end{vmatrix}
次に、1列目を2列目、3列目、4列目から引きます。
\begin{vmatrix}
x & y-x & y-x & y-x \\
0 & 0 & x-y & x-y \\
y-x & x-y & x-y & x-y \\
0 & x-y & 0 & x-y
\end{vmatrix}
これは少し複雑なので、問題文に書かれているように変形することを考えます。
1行目はそのまま。
2行目から1行目を引く。
3行目から1行目を引く。
4行目から1行目を引く。
\begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
x & y & x & x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}
1列目はそのまま。
2列目から1列目を引く。
3列目から1列目を引く。
4列目から1列目を引く。
\begin{vmatrix}
x & y-x & y-x & y-x \\
x & y-x & x-x & x-x \\
y & y-y & y-y & x-y \\
x & x-x & y-x & x-x
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x & y-x & y-x & y-x \\
x & y-x & 0 & 0 \\
y & 0 & 0 & x-y \\
x & 0 & y-x & 0
\end{vmatrix}
これは元の問題の変形方針とは異なります。
そこで、全要素の和が x+3yx+3y になることを利用して、
1行目に2行目、3行目、4行目を足します。
\begin{vmatrix}
x+x+y+x & y+y+y+x & y+x+y+y & y+x+x+x \\
x & y & x & x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
3x+y & 3y+x & 3y+x & 3x+y \\
x & y & x & x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}
という操作ではうまく因数分解できません。
問題文の右に書かれた行列式を参考にします。
\begin{vmatrix}
x-y & x & y & x \\
0 & y & x-y & x-y \\
0 & x & y-y & y-y \\
0 & 2x & x+y
\end{vmatrix}
これらも正しくありません。
正しくは、
すべての行の和を計算するとx+3yx+3yになることから、1行目＋2行目＋3行目＋4行目を計算し、1行目におくと
\begin{vmatrix}
x+x+y+x & y+y+y+x & y+x+y+y & y+x+x+x \\
x & y & x & x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
x+3y & x+3y & x+3y & x+3y \\
x & y & x & x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}
したがって、x+3yx+3yを1行目からくくりだして
(x+3y)
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x & y & x & x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}

2. 最終的な答え

上記計算は間違っているので、わかりません。

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