4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、与えられた方程式 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ の正の解の個数を調べる必要があります。

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = -1, 0, 2$ です。

これらの値を考慮して、増減表を作成します。

| $x$ | $x < -1$ | $x = -1$ | $-1 < x < 0$ | $x = 0$ | $0 < x < 2$ | $x = 2$ | $x > 2$ |

| :------- | :-------- | :------- | :----------- | :------ | :----------- | :------ | :------ |

| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |

| $f(x)$ | $\searrow$ | | $\nearrow$ | | $\searrow$ | | $\nearrow$ |

次に、それぞれの極値を計算します。

$f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 + 5 = 3 + 4 - 12 + 5 = 0$

$f(0) = 3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 + 5 = 5$

$f(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 + 5 = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27$

$x$ が正の領域において、$f(x)$ は $x=0$ で極大値 $5$ をとり、$x=2$ で極小値 $-27$ を取ります。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$ なので、正の解は2つ存在します。

3. 最終的な答え

2個