数列 $1 \cdot n, 3 \cdot (n-1), 5 \cdot (n-2), \dots, (2n-3) \cdot 2, (2n-1) \cdot 1$ の和を求めます。
2025/7/30
## (1) の問題
1. 問題の内容
数列 の和を求めます。
2. 解き方の手順
この数列の一般項は、 で表すことができます。ただし、 は項の番号であり、 です。したがって、数列の和 は以下のようになります。
これを展開して計算します。
\begin{align*}
S &= \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n-k+1) \\
&= \sum_{k=1}^{n} (2kn - 2k^2 + 2k - n + k - 1) \\
&= \sum_{k=1}^{n} (-2k^2 + (2n+3)k - (n+1)) \\
&= -2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + (2n+3) \sum_{k=1}^{n} k - (n+1) \sum_{k=1}^{n} 1 \\
&= -2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (2n+3) \frac{n(n+1)}{2} - (n+1)n \\
&= -\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{(2n+3)n(n+1)}{2} - n(n+1) \\
&= \frac{-2n(n+1)(2n+1) + 3(2n+3)n(n+1) - 6n(n+1)}{6} \\
&= \frac{n(n+1)(-4n-2 + 6n+9 - 6)}{6} \\
&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}
3. 最終的な答え
## (2) の問題
1. 問題の内容
数列 の和を求めます。
2. 解き方の手順
この数列の一般項は、 で表すことができます。ただし、 は項の番号であり、 です。したがって、数列の和 は以下のようになります。
これを展開して計算します。
\begin{align*}
S &= \sum_{k=1}^{n} k^2 (n-k+1) \\
&= \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2) \\
&= \sum_{k=1}^{n} (-k^3 + (n+1)k^2) \\
&= -\sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1) \sum_{k=1}^{n} k^2 \\
&= -\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + (n+1) \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
&= -\frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)^2(2n+1)}{6} \\
&= \frac{-3n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)^2(2n+1)}{12} \\
&= \frac{n(n+1)^2(-3n + 4n + 2)}{12} \\
&= \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}
\end{align*}