(1) クラメルの公式を用いて、連立一次方程式 $ \begin{cases} 7x + 3y - 7z = 0 \\ -3x - y + 4z = 1 \\ x - 2y + 6z = 0 \end{cases} $ の解のうち $z$ を求めよ。 (2) 4次正方行列 $ A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 2 \\ -2 & -4 & 5 & -2 \\ 2 & 5 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & -3 & 2 \end{bmatrix} $ の逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分を、余因子を使って計算せよ。ただし、 $|A| = 37$ であることを用いてよい。 (3) 次の行列式の値を求めよ。 $ \begin{vmatrix} -2 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

(1) クラメルの公式を用いて、連立一次方程式

$$

\begin{cases}

7x + 3y - 7z = 0 \\

-3x - y + 4z = 1 \\

x - 2y + 6z = 0

\end{cases}

$$

の解のうち $z$ を求めよ。

(2) 4次正方行列

$$

A = \begin{bmatrix}

0 & 3 & 3 & 2 \\

-2 & -4 & 5 & -2 \\

2 & 5 & 2 & -3 \\

-1 & -4 & -3 & 2

\end{bmatrix}

$$

の逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分を、余因子を使って計算せよ。ただし、 $|A| = 37$ であることを用いてよい。

(3) 次の行列式の値を求めよ。

$$

\begin{vmatrix}

-2 & 0 & -1 & 1 \\

1 & -3 & 1 & -1 \\

1 & 0 & 1 & -2 \\

-1 & -3 & 0 & -1

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) クラメルの公式を用いる。

行列式 $D$ を

$$

D = \begin{vmatrix}

7 & 3 & -7 \\

-3 & -1 & 4 \\

1 & -2 & 6

\end{vmatrix} = 7(-6+8) - 3(-18-4) -7(6+1) = 14 + 66 - 49 = 31

$$

とする。$z$ に関する行列式 $D_z$ は、右辺の定数項ベクトルで第3列を置き換えたもので、

$$

D_z = \begin{vmatrix}

7 & 3 & 0 \\

-3 & -1 & 1 \\

1 & -2 & 0

\end{vmatrix} = 7(0+2) - 3(0-1) + 0 = 14 + 3 = 17

$$

である。したがって、 $z = \frac{D_z}{D} = \frac{17}{31}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分は $\frac{1}{|A|} C_{32}$ で与えられる。ここで、$C_{32}$ は行列 $A$ の (3,2) 成分の余因子である。

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$ であり、$M_{32}$ は (3,2) 成分を除いた小行列式である。

$$

M_{32} = \begin{vmatrix}

0 & 3 & 2 \\

-2 & 5 & -2 \\

-1 & -3 & 2

\end{vmatrix} = 0(10-6) - 3(-4-2) + 2(6+5) = 0 + 18 + 22 = 40

$$

よって、$C_{32} = (-1)^{5} M_{32} = -40$

したがって、$A^{-1}$ の (2,3) 成分は $\frac{1}{37} (-40) = -\frac{40}{37}$

(3) 与えられた行列式を計算する。第1列について余因子展開すると、

$$

\begin{vmatrix}

-2 & 0 & -1 & 1 \\

1 & -3 & 1 & -1 \\

1 & 0 & 1 & -2 \\

-1 & -3 & 0 & -1

\end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix}

-3 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -2 \\

-3 & 0 & -1

\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & -2 \\

-3 & 0 & -1

\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-3 & 1 & -1 \\

-3 & 0 & -1

\end{vmatrix} -(-1) \begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-3 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -2

\end{vmatrix}

$$

それぞれの3x3行列式を計算する。

$$

\begin{vmatrix}

-3 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -2 \\

-3 & 0 & -1

\end{vmatrix} = -3(-1-0) - 1(0-6) -1(0+3) = 3+6-3 = 6

$$

$$

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & -2 \\

-3 & 0 & -1

\end{vmatrix} = 0 - (-1)(0-6) + 1(0+3) = -6+3 = -3

$$

$$

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-3 & 1 & -1 \\

-3 & 0 & -1

\end{vmatrix} = 0 - (-1)(3-3) + 1(0+3) = 0+0+3=3

$$

$$

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-3 & 1 & -1 \\

0 & 1 & -2

\end{vmatrix} = 0 - (-1)(6-0) + 1(-3-0) = 6 - 3 = 3

$$

したがって、元の行列式は $-2(6) -1(-3) + 1(3) + 1(3) = -12 + 3 + 3 + 3 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{17}{31}$

(2) $-\frac{40}{37}$

(3) $-3$