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問題1では、与えられた集合 $W$ がベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定します。問題2では、与えられた集合 $W$ がベクトル空間 $\mathbb{R}[x]_3$ の部分空間であるかどうかを判定します。$\mathbb{R}[x]_3$ は次数が3以下の実数係数多項式全体のなすベクトル空間です。

代数学線形代数部分空間ベクトル空間多項式
2025/8/3

1. 問題の内容

問題1では、与えられた集合 WW がベクトル空間 R3\mathbb{R}^3 の部分空間であるかどうかを判定します。問題2では、与えられた集合 WW がベクトル空間 R[x]3\mathbb{R}[x]_3 の部分空間であるかどうかを判定します。R[x]3\mathbb{R}[x]_3 は次数が3以下の実数係数多項式全体のなすベクトル空間です。

2. 解き方の手順

ベクトル空間の部分空間であるための条件は、以下の3つを満たすことです。

1. 零ベクトルを含む

2. スカラー倍で閉じている

3. ベクトルの和で閉じている

問題1
(1)
W={x∈R3∣x1+x2−x3=0,3x1+x2+2x3=0}W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}
x1+x2−x3=0x_1 + x_2 - x_3 = 0 と 3x1+x2+2x3=03x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 の連立方程式を解きます。
上の式から下の式を引くと −2x1−3x3=0-2x_1 - 3x_3 = 0, つまり x1=−32x3x_1 = -\frac{3}{2}x_3 となります。
これを上の式に代入すると、−32x3+x2−x3=0-\frac{3}{2}x_3 + x_2 - x_3 = 0, つまり x2=52x3x_2 = \frac{5}{2}x_3 となります。
したがって、x=(−32x352x3x3)=x3(−32521)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2}x_3 \\ \frac{5}{2}x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} \\ 1 \end{pmatrix} となり、WW は R3\mathbb{R}^3 の部分空間です。
(2)
W={x∈R3∣2x1−3x2+x3≤1,3x1+x2+2x3≤1}W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \leq 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \leq 1 \}
不等式で定義されているため、WW は部分空間ではありません。例えば、x∈W\mathbf{x} \in W であっても 2x2\mathbf{x} が WW に含まれるとは限りません。
(具体例: (000)∈W\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in W ですが、2x1−3x2+x3≤12x_1-3x_2+x_3 \le 1 かつ 3x1+x2+2x3≤13x_1+x_2+2x_3 \le 1 を満たさないベクトルが存在します。)
(3)
W={x∈R3∣x3=2x1−3x2,3x3=x1+2x2}W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_3 = 2x_1 - 3x_2, 3x_3 = x_1 + 2x_2 \}
x3=2x1−3x2x_3 = 2x_1 - 3x_2 を 3x3=x1+2x23x_3 = x_1 + 2x_2 に代入すると、3(2x1−3x2)=x1+2x23(2x_1 - 3x_2) = x_1 + 2x_2, つまり 6x1−9x2=x1+2x26x_1 - 9x_2 = x_1 + 2x_2, 5x1=11x25x_1 = 11x_2 となります。
したがって、x2=511x1x_2 = \frac{5}{11}x_1 であり、x3=2x1−3(511x1)=2x1−1511x1=711x1x_3 = 2x_1 - 3(\frac{5}{11}x_1) = 2x_1 - \frac{15}{11}x_1 = \frac{7}{11}x_1 となります。
x=(x1511x1711x1)=x1(1511711)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \frac{5}{11}x_1 \\ \frac{7}{11}x_1 \end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{5}{11} \\ \frac{7}{11} \end{pmatrix} となり、WW は R3\mathbb{R}^3 の部分空間です。
(4)
W={x∈R3∣x12+x22−x32=0,x1−x2+2x3=1}W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 0, x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \}
x12+x22−x32=0x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 0 と x1−x2+2x3=1x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 より、零ベクトル 0\mathbf{0} を含まないため、WW は R3\mathbb{R}^3 の部分空間ではありません。
(5)
W={x∈R3∣2x1+x2−2x3=0}W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0 \}
WW は平面を表し、零ベクトルを含みます。スカラー倍、和に関しても閉じているので、WW は R3\mathbb{R}^3 の部分空間です。
(6)
W={x∈R3∣x1+3x2−x3=0,x1−2x2+3x3=0}W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 3x_2 - x_3 = 0, x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 \}
x1+3x2−x3=0x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 と x1−2x2+3x3=0x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 の連立方程式を解きます。
上の式から下の式を引くと、5x2−4x3=05x_2 - 4x_3 = 0, つまり x2=45x3x_2 = \frac{4}{5}x_3 となります。
これを上の式に代入すると、x1+3(45x3)−x3=0x_1 + 3(\frac{4}{5}x_3) - x_3 = 0, つまり x1=x3−125x3=−75x3x_1 = x_3 - \frac{12}{5}x_3 = -\frac{7}{5}x_3 となります。
x=(−75x345x3x3)=x3(−75451)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{5}x_3 \\ \frac{4}{5}x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -\frac{7}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{pmatrix} となり、WW は R3\mathbb{R}^3 の部分空間です。
問題2
(1)
W={f(x)∈R[x]3∣f(0)=0,f(1)=0}W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(0) = 0, f(1) = 0 \}
f(x),g(x)∈Wf(x), g(x) \in W とすると、(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0(f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0, (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 より f+g∈Wf+g \in W です。
c∈Rc \in \mathbb{R} とすると、(cf)(0)=cf(0)=c⋅0=0(cf)(0) = c f(0) = c \cdot 0 = 0, (cf)(1)=cf(1)=c⋅0=0(cf)(1) = c f(1) = c \cdot 0 = 0 より cf∈Wcf \in W です。
零多項式 00 は f(0)=0,f(1)=0f(0) = 0, f(1) = 0 を満たすので 0∈W0 \in W です。
したがって、WW は R[x]3\mathbb{R}[x]_3 の部分空間です。
(2)
W={f(x)∈R[x]3∣f(0)=1,f(1)=0}W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(0) = 1, f(1) = 0 \}
零多項式 00 は f(0)=1,f(1)=0f(0) = 1, f(1) = 0 を満たさないので 0∉W0 \notin W です。
したがって、WW は R[x]3\mathbb{R}[x]_3 の部分空間ではありません。
(3)
W={f(x)∈R[x]3∣f(3)=0,f(2)=0}W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(3) = 0, f(2) = 0 \}
f(x),g(x)∈Wf(x), g(x) \in W とすると、(f+g)(3)=f(3)+g(3)=0+0=0(f+g)(3) = f(3) + g(3) = 0 + 0 = 0, (f+g)(2)=f(2)+g(2)=0+0=0(f+g)(2) = f(2) + g(2) = 0 + 0 = 0 より f+g∈Wf+g \in W です。
c∈Rc \in \mathbb{R} とすると、(cf)(3)=cf(3)=c⋅0=0(cf)(3) = c f(3) = c \cdot 0 = 0, (cf)(2)=cf(2)=c⋅0=0(cf)(2) = c f(2) = c \cdot 0 = 0 より cf∈Wcf \in W です。
零多項式 00 は f(3)=0,f(2)=0f(3) = 0, f(2) = 0 を満たすので 0∈W0 \in W です。
したがって、WW は R[x]3\mathbb{R}[x]_3 の部分空間です。
(4)
W={f(x)∈R[x]3∣f(1)≤0,f(2)=0}W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) \leq 0, f(2) = 0 \}
f(x)∈Wf(x) \in W としても、cf(x)cf(x) (ただし c<0c<0) が f(1)≤0f(1) \le 0 を満たさない場合があるため、WW は部分空間ではありません。
例えば、f(x)=−(x−2)f(x) = -(x-2) は f(1)=−1≤0f(1)=-1 \le 0 と f(2)=0f(2) = 0 を満たしますが、−f(x)=x−2-f(x) = x-2 は f(1)=−1≰0f(1) = -1 \nleq 0　を満たしません。
(5)
W={f(x)∈R[x]3∣f′(3)=0,f(1)=0}W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f'(3) = 0, f(1) = 0 \}
f(x),g(x)∈Wf(x), g(x) \in W とすると、(f+g)′(3)=f′(3)+g′(3)=0+0=0(f+g)'(3) = f'(3) + g'(3) = 0 + 0 = 0, (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 より f+g∈Wf+g \in W です。
c∈Rc \in \mathbb{R} とすると、(cf)′(3)=cf′(3)=c⋅0=0(cf)'(3) = c f'(3) = c \cdot 0 = 0, (cf)(1)=cf(1)=c⋅0=0(cf)(1) = c f(1) = c \cdot 0 = 0 より cf∈Wcf \in W です。
零多項式 00 は f′(3)=0,f(1)=0f'(3) = 0, f(1) = 0 を満たすので 0∈W0 \in W です。
したがって、WW は R[x]3\mathbb{R}[x]_3 の部分空間です。
(6)
W={f(x)∈R[x]3∣f′′(x)−2xf′(x)=0}W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f''(x) - 2x f'(x) = 0 \}
f(x),g(x)∈Wf(x), g(x) \in W とすると、(f+g)′′(x)−2x(f+g)′(x)=f′′(x)+g′′(x)−2x(f′(x)+g′(x))=(f′′(x)−2xf′(x))+(g′′(x)−2xg′(x))=0+0=0(f+g)''(x) - 2x (f+g)'(x) = f''(x) + g''(x) - 2x (f'(x) + g'(x)) = (f''(x) - 2x f'(x)) + (g''(x) - 2x g'(x)) = 0 + 0 = 0 より f+g∈Wf+g \in W です。
c∈Rc \in \mathbb{R} とすると、(cf)′′(x)−2x(cf)′(x)=cf′′(x)−2xcf′(x)=c(f′′(x)−2xf′(x))=c⋅0=0(cf)''(x) - 2x (cf)'(x) = c f''(x) - 2x c f'(x) = c (f''(x) - 2x f'(x)) = c \cdot 0 = 0 より cf∈Wcf \in W です。
零多項式 00 は f′′(x)−2xf′(x)=0f''(x) - 2x f'(x) = 0 を満たすので 0∈W0 \in W です。
したがって、WW は R[x]3\mathbb{R}[x]_3 の部分空間です。

3. 最終的な答え

問題1：
(1) 部分空間である
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間である
(4) 部分空間ではない
(5) 部分空間である
(6) 部分空間である
問題2：
(1) 部分空間である
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間である
(4) 部分空間ではない
(5) 部分空間である
(6) 部分空間である

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