与えられたベクトルが一次独立であることを示し、それらを含むベクトル空間 $V$ の基を求める問題です。ここでは、(1) の $V = \mathbb{R}^3$、ベクトル $\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$、$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の場合を扱います。

1. 問題の内容

与えられたベクトルが一次独立であることを示し、それらを含むベクトル空間 $V$ の基を求める問題です。ここでは、(1) の $V = \mathbb{R}^3$、ベクトル $\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$、$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の場合を扱います。

2. 解き方の手順

ステップ1: 一次独立性の確認

ベクトル $\alpha_1$ と $\alpha_2$ が一次独立であることを示すために、

$c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 = 0$ が $c_1 = c_2 = 0$ の場合にのみ成り立つことを確認します。

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この式は以下の連立一次方程式に対応します。

$c_1 = 0$

$2c_1 + 2c_2 = 0$

$c_1 + c_2 = 0$

一つ目の式より $c_1 = 0$ がわかります。これを二つ目の式に代入すると $2(0) + 2c_2 = 0$ となり、$c_2 = 0$ がわかります。同様に三つ目の式に代入しても $c_2 = 0$ となります。

したがって、$c_1 = c_2 = 0$ の場合にのみ $c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 = 0$ が成り立つため、$\alpha_1$ と $\alpha_2$ は一次独立です。

ステップ2: 基の拡張

$\mathbb{R}^3$ の基を構成するには、$\alpha_1$ と $\alpha_2$ に加えて、$\mathbb{R}^3$ のどのベクトルとも線形独立なベクトルを一つ見つける必要があります。

$\mathbb{R}^3$ の標準基 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ を考えます。

$\alpha_1$ と $\alpha_2$ に対して $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が線形独立であるかを確認します。

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この式は以下の連立一次方程式に対応します。

$c_1 = 0$

$2c_1 + 2c_2 = 0$

$c_1 + c_2 + c_3 = 0$

一つ目の式より $c_1 = 0$ がわかります。これを二つ目の式に代入すると $c_2 = 0$ がわかります。これらを三つ目の式に代入すると $c_3 = 0$ がわかります。

したがって、$\alpha_1, \alpha_2, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ は一次独立であり、$\mathbb{R}^3$ の基を構成します。

3. 最終的な答え

ベクトル $\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ は一次独立であり、これらを含む $\mathbb{R}^3$ の基の一つは、$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ です。