2次関数 $f(x)=x^2 - 2(a-1)x + 2a^2 - 7$ と $y=-x^2$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $2a^2+2a-24$ だけ平行移動した2次関数 $g(x)$ がある。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。 (2) すべての実数 $x$ に対して $f(x)>0$ かつ $g(x)<0$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) $x \ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x)>0$ かつ $g(x) \le 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x)=x^2 - 2(a-1)x + 2a^2 - 7$ と $y=-x^2$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $2a^2+2a-24$ だけ平行移動した2次関数 $g(x)$ がある。

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。

(2) すべての実数 $x$ に対して $f(x)>0$ かつ $g(x)<0$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $x \ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x)>0$ かつ $g(x) \le 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2(a-1)x + 2a^2 - 7$

$= (x - (a-1))^2 - (a-1)^2 + 2a^2 - 7$

$= (x - (a-1))^2 - (a^2 - 2a + 1) + 2a^2 - 7$

$= (x - (a-1))^2 + a^2 + 2a - 8$

したがって、頂点の座標は $(a-1, a^2 + 2a - 8)$.

(2) $g(x)$ を求める。

$y = -x^2$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $2a^2+2a-24$ だけ平行移動すると

$g(x) = -(x-a)^2 + 2a^2 + 2a - 24$

$g(x) = -x^2 + 2ax - a^2 + 2a^2 + 2a - 24$

$g(x) = -x^2 + 2ax + a^2 + 2a - 24$

$f(x) > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つ条件は、$f(x)$ の判別式 $D_1 < 0$ であること。

$D_1 = 4(a-1)^2 - 4(2a^2-7) = 4(a^2 - 2a + 1 - 2a^2 + 7) = 4(-a^2 - 2a + 8) < 0$

$a^2 + 2a - 8 > 0$

$(a+4)(a-2) > 0$

$a < -4$ または $a > 2$

$g(x) < 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つ条件は、$g(x)$ の判別式 $D_2 < 0$ であること。ただし、$g(x)$ の $x^2$ の係数が負である必要がある。これはすでに満たされている。

$D_2 = 4a^2 - 4(-1)(a^2 + 2a - 24) = 4(a^2 + a^2 + 2a - 24) = 4(2a^2 + 2a - 24) < 0$

$2a^2 + 2a - 24 < 0$

$a^2 + a - 12 < 0$

$(a+4)(a-3) < 0$

$-4 < a < 3$

$a < -4$ または $a > 2$ かつ $-4 < a < 3$ より

$2 < a < 3$

(3) $x \ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となる条件は、

$f(x)$ の軸 $x = a-1$ が $0$ より小さいとき、$f(0)>0$ となれば良い。また、$x=a-1$ が $0$ 以上のとき、判別式が負であれば良い。

$f(0) = 2a^2 - 7 > 0$

$a^2 > \frac{7}{2}$

$a < -\sqrt{\frac{7}{2}}$ または $a > \sqrt{\frac{7}{2}}$

$g(x) \le 0$ は、$x \ge 0$ について、$g(x) = -(x-a)^2 + 2a^2 + 2a - 24 \le 0$

$g(x)$ の軸 $x=a$ を考慮する。

$a \le 0$ のとき、$g(x)$ は $x \ge 0$ で単調減少なので、$g(0) \le 0$ であれば良い。

$g(0) = -a^2 + 2a^2 + 2a - 24 = a^2 + 2a - 24 \le 0$

$(a+6)(a-4) \le 0$

$-6 \le a \le 4$

$a \le 0$ より $-6 \le a \le 0$

$a > 0$ のとき、$x=a$ で最大値をとる。$g(x) \le 0$ となることはない。

なぜならば$g(a) = 2a^2+2a-24$であるから。

求める範囲は

$(a < -\sqrt{\frac{7}{2}} \text{ または } a > \sqrt{\frac{7}{2}})$ かつ $(-6 \le a \le 0)$

$-6 \le a < -\sqrt{\frac{7}{2}} \approx -1.87$

$\sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx \frac{3.74}{2} \approx 1.87$

3. 最終的な答え

(1) $(a-1, a^2+2a-8)$

(2) $2 < a < 3$

(3) $-6 \le a < -\sqrt{\frac{7}{2}}$