問題14は、10%の食塩水1360gに食塩を加えて15%以上20%以下の食塩水を作りたいとき、加える食塩の量の範囲を求める問題です。 問題15は、以下の多項式の計算をする問題です。 (1) $(5x^3-3x^2-4x+1)+(3x^3-2x^2-1)$ (2) $(3x^2y-2xy+5y^2)-(4x^2y-5xy-y^2)$

1. 問題の内容

問題14は、10%の食塩水1360gに食塩を加えて15%以上20%以下の食塩水を作りたいとき、加える食塩の量の範囲を求める問題です。

問題15は、以下の多項式の計算をする問題です。

(1) $(5x^3-3x^2-4x+1)+(3x^3-2x^2-1)$

(2) $(3x^2y-2xy+5y^2)-(4x^2y-5xy-y^2)$

2. 解き方の手順

問題14：

加える食塩の量を$x$gとします。

食塩を加えた後の食塩水の量は$1360 + x$ gです。

10%の食塩水1360gに含まれる食塩の量は$1360 \times 0.1 = 136$gです。

食塩を加えた後の食塩水に含まれる食塩の量は$136 + x$gです。

食塩水の濃度は$\frac{136+x}{1360+x}$で表されます。

これが15%以上20%以下なので、以下の不等式が成り立ちます。

$0.15 \leq \frac{136+x}{1360+x} \leq 0.20$

まず、$0.15 \leq \frac{136+x}{1360+x}$を解きます。

$0.15(1360+x) \leq 136+x$

$204 + 0.15x \leq 136+x$

$68 \leq 0.85x$

$x \geq \frac{68}{0.85}$

$x \geq 80$

次に、$\frac{136+x}{1360+x} \leq 0.20$を解きます。

$136+x \leq 0.20(1360+x)$

$136+x \leq 272 + 0.20x$

$0.80x \leq 136$

$x \leq \frac{136}{0.80}$

$x \leq 170$

したがって、$80 \leq x \leq 170$

問題15 (1)：

$(5x^3-3x^2-4x+1)+(3x^3-2x^2-1)$

$= 5x^3 - 3x^2 - 4x + 1 + 3x^3 - 2x^2 - 1$

$= (5x^3 + 3x^3) + (-3x^2 - 2x^2) - 4x + (1 - 1)$

$= 8x^3 - 5x^2 - 4x$

問題15 (2)：

$(3x^2y-2xy+5y^2)-(4x^2y-5xy-y^2)$

$= 3x^2y - 2xy + 5y^2 - 4x^2y + 5xy + y^2$

$= (3x^2y - 4x^2y) + (-2xy + 5xy) + (5y^2 + y^2)$

$= -x^2y + 3xy + 6y^2$

3. 最終的な答え

問題14：加える食塩の量の範囲は$80g \leq x \leq 170g$です。

問題15 (1)：$8x^3 - 5x^2 - 4x$

問題15 (2)：$-x^2y + 3xy + 6y^2$