与えられた行列式 $d_2$ を計算し、因数分解された形で答えよ。 $d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & b & a \\ b & c & a \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式 $d_2$ を計算し、因数分解された形で答えよ。

$d_2 = \begin{vmatrix}

a & b & c \\

c & b & a \\

b & c & a

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、サラスの公式を使用します。

$d_2 = a(ba - ac) - b(ca - ab) + c(c^2 - b^2)$

$d_2 = a(ba - ac) - b(ca - ab) + c(c^2 - b^2)$

$d_2 = aba - a^2c - bca + ab^2 + c^3 - cb^2$

$d_2 = a^2b - a^2c - abc + ab^2 + c^3 - b^2c$

次に、因数分解を行います。

$d_2 = a^2(b-c) + a(b^2-bc) + c(c^2 -b^2)$

$d_2 = -(a-c)(a-b)(b+c)$

$d_2 = -(a^2c - ab^2)+ c^3 -b^2c-abc+ab^2$

$d_2 = -(a-b)(b-c)(c-a)$

または、次の手順で因数分解します。

まず、行列式を展開して整理します。

$d_2 = a(ba - c^2) - b(ca - b^2) + c(c^2 - ab)$

$d_2 = aba - ac^2 - bca + b^3 + c^3 - abc$

$d_2 = ab^2 + bc^2 + ca^2 - ac^2 - a^2b - b^2c = - (a - b)(b - c)(c - a)$

$d_2 = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$d_2 = -(a-b)(b-c)(c-a)$