与えられた連立一次方程式 $\begin{pmatrix} 12 & -4 \\ 5 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ -3 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 方程式が無数の解を持つような定数 $a$, $b$ の値を求めます。 (2) (1)で求めた $a$, $b$ の値を用いて、$x$, $y$ の一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式 $\begin{pmatrix} 12 & -4 \\ 5 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ -3 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 方程式が無数の解を持つような定数 $a$, $b$ の値を求めます。

(2) (1)で求めた $a$, $b$ の値を用いて、$x$, $y$ の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 無数の解を持つ条件

与えられた方程式は、以下のように書き換えられます。

$12x - 4y = b$

$5x + ay = -3$

この連立一次方程式が無数の解を持つためには、2つの式が実質的に同じ式であることが必要です。つまり、一方の式を定数倍するともう一方の式になる必要があります。

まず、1つ目の式を3倍すると、$36x - 12y = 3b$ となります。

次に、2つ目の式を考えます。

$5x + ay = -3$

1つ目の式に似た形にするため、$x$の係数と$y$の係数の比を比較します。

$\frac{12}{5} = \frac{-4}{a}$

$12a = -20$

$a = -\frac{20}{12} = -\frac{5}{3}$

次に、$b$の値を求めます。

$5x - \frac{5}{3}y = -3$

この式を3倍すると、$15x - 5y = -9$ となります。

一方、$12x - 4y = b$なので、$3x - y = \frac{b}{4}$

これを5倍すると、$15x - 5y = \frac{5b}{4}$

したがって、$\frac{5b}{4} = -9$

$5b = -36$

$b = -\frac{36}{5}$

(2) 一般解の導出

$a = -\frac{5}{3}$, $b = -\frac{36}{5}$のとき、方程式は

$12x - 4y = -\frac{36}{5}$

$5x - \frac{5}{3}y = -3$

1つ目の式を4で割ると、$3x - y = -\frac{9}{5}$

2つ目の式を5で割ると、$x - \frac{1}{3}y = -\frac{3}{5}$

どちらも同じ関係式を表しているので、一方の式のみを考えればよいです。

$3x - y = -\frac{9}{5}$

$y = 3x + \frac{9}{5}$

ここで、$x=t$（$t$は任意の実数）とおくと、$y = 3t + \frac{9}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{5}{3}$, $b = -\frac{36}{5}$

(2) $x = t$, $y = 3t + \frac{9}{5}$ (ただし、$t$は任意の実数)