与えられた拡大係数行列をもつ連立一次方程式が解をもつための $a$ の必要十分条件を求める問題です。拡大係数行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & -2 & a & 1 \\ 2 & -3 & -6 & 1 \\ -1 & 1 & a^2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた拡大係数行列をもつ連立一次方程式が解をもつための $a$ の必要十分条件を求める問題です。拡大係数行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & a & 1 \\

2 & -3 & -6 & 1 \\

-1 & 1 & a^2 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、拡大係数行列を簡約化します。

ステップ1: 2行目から1行目の2倍を引きます。3行目に1行目を加えます。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & a & 1 \\

0 & 1 & -6-2a & -1 \\

0 & -1 & a^2+a & 2

\end{pmatrix}$

ステップ2: 3行目に2行目を加えます。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & a & 1 \\

0 & 1 & -6-2a & -1 \\

0 & 0 & a^2-a-6 & 1

\end{pmatrix}$

連立一次方程式が解を持つためには、最後の行が $0 = 1$ という形にならないことが必要です。つまり、$a^2 - a - 6 \neq 0$ であれば、解を持つことになります。

$a^2 - a - 6 = 0$ となる $a$ を求めます。これは、$(a-3)(a+2) = 0$ と因数分解できるため、$a = 3$ または $a = -2$ が解となります。

したがって、連立一次方程式が解を持つための条件は、$a \neq 3$ かつ $a \neq -2$ です。

3. 最終的な答え

$a \neq 3$ かつ $a \neq -2$