具体的には、第2行に第1行を足し($R_2 \rightarrow R_2 + R_1$)、第4行から第1行の2倍を引きます($R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$)。 $\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix} \xrightarrow[\substack{R_2 \rightarrow R_2 + R_1 \\ R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1}] {} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

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1. 問題の内容

与えられた行列式の値を求める問題です。具体的には、次の行列式の値を計算します。

$d_1 = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

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2. 解き方の手順

行列式の計算は、行基本変形を利用して行うのが一般的です。

1. まず、第1行を基準にして、第2行と第4行の第1列の成分を0にします。

具体的には、第2行に第1行を足し($R_2 \rightarrow R_2 + R_1$)、第4行から第1行の2倍を引きます($R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$)。

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix} \xrightarrow[\substack{R_2 \rightarrow R_2 + R_1 \\ R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1}] {} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

2. 次に、第1列で展開を行います。

$d_1 = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ -6 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

3. 次に、$3 \times 3$ 行列式を計算します。第3行に注目し、展開すると、

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ -6 & 0 & 5 \end{vmatrix} = -6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}$

$= -6(2-15) + 5(5-3) = -6(-13) + 5(2) = 78 + 10 = 88$

4. したがって、$d_1 = (-1) \cdot 88 = -88$

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3. 最終的な答え

-88