与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。それぞれの $W$ は、連立一次方程式の解空間として定義されているもの、または多項式の条件で定義されているものなど、様々な形式で与えられています。

分かりました。問題の画像にある線形代数の問題について、(1)から(6)まで順に解いていきます。

1. 問題の内容

与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。それぞれの $W$ は、連立一次方程式の解空間として定義されているもの、または多項式の条件で定義されているものなど、様々な形式で与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$、$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

まず、行列 $A$ を簡約化します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1, R_3 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - 2R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -5 \end{bmatrix}$

さらに簡約化して階段行列にします。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -5 \end{bmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{5}R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 + R_3, R_2-3R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{-R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{-R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 + x_3 + 2x_5 = 0$, $x_2 = 0$, $x_4 - x_5 = 0$ となります。$x_3, x_5$ を自由変数とすると、$x_1 = -x_3 - 2x_5$, $x_2 = 0$, $x_4 = x_5$ となります。

したがって、$x = \begin{bmatrix} -x_3 - 2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

基底は$\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。 次元は2。

(2) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$、$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

行列 $A$ を簡約化します。

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{5}R_3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 + 4R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & -3 & 9 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{3}R_3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 - 3R_3, R_2 - R_3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 10 & -11 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 + 3x_5 = 0$, $x_2 + 5x_4 - 7x_5 = 0$, $x_3 - 3x_4 + 2x_5 = 0$ となります。$x_4, x_5$ を自由変数とすると、$x_1 = -3x_5$, $x_2 = -5x_4 + 7x_5$, $x_3 = 3x_4 - 2x_5$ となります。

したがって、$x = \begin{bmatrix} -3x_5 \\ -5x_4 + 7x_5 \\ 3x_4 - 2x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

基底は$\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。 次元は2。

(3) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0\}$

連立方程式を解きます。

$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases} \xrightarrow{R_2 - 3R_1} \begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ -9x_2 + 5x_3 = 0 \end{cases}$

$x_3$ を自由変数とすると、$x_2 = \frac{5}{9}x_3$, $x_1 = x_3 - 2x_2 = x_3 - \frac{10}{9}x_3 = -\frac{1}{9}x_3$

したがって、$x = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9}x_3 \\ \frac{5}{9}x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} \\ \frac{5}{9} \\ 1 \end{bmatrix}$

基底は$\begin{bmatrix} -\frac{1}{9} \\ \frac{5}{9} \\ 1 \end{bmatrix}$または$\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$。 次元は1。

(4) $W = \{x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0\}$

連立方程式を解きます。

$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\ 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \end{cases} \xrightarrow{R_2 - 3R_1} \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\ -2x_2 + 5x_3 - 4x_4 = 0 \end{cases}$

$x_3, x_4$ を自由変数とすると、$x_2 = \frac{5}{2}x_3 - 2x_4$, $x_1 = x_3 - x_4 - x_2 = x_3 - x_4 - \frac{5}{2}x_3 + 2x_4 = -\frac{3}{2}x_3 + x_4$

したがって、$x = \begin{bmatrix} -\frac{3}{2}x_3 + x_4 \\ \frac{5}{2}x_3 - 2x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

基底は$\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$または$\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。 次元は2。

(5) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0\}$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とします。$f(1) = a + b + c + d = 0$、$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ なので $f'(1) = 3a + 2b + c = 0$。

$\begin{cases} a + b + c + d = 0 \\ 3a + 2b + c = 0 \end{cases} \xrightarrow{R_2 - 3R_1} \begin{cases} a + b + c + d = 0 \\ -b - 2c - 3d = 0 \end{cases}$

$c, d$ を自由変数とすると、$b = -2c - 3d$, $a = -b - c - d = 2c + 3d - c - d = c + 2d$

したがって、$f(x) = (c + 2d)x^3 + (-2c - 3d)x^2 + cx + d = c(x^3 - 2x^2 + x) + d(2x^3 - 3x^2 + 1)$

基底は $x^3 - 2x^2 + x$, $2x^3 - 3x^2 + 1$。 次元は2。

(6) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0\}$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とします。$f(1) = a + b + c + d = 0$、$f(-1) = -a + b - c + d = 0$。

$\begin{cases} a + b + c + d = 0 \\ -a + b - c + d = 0 \end{cases} \xrightarrow{R_2 + R_1} \begin{cases} a + b + c + d = 0 \\ 2b + 2d = 0 \end{cases}$

$a, c$ を自由変数とすると、$b = -d$, $d = -b$

$\begin{cases} a + b + c + d = 0 \\ b + d = 0 \end{cases}$

$d=-b$なので、$a + b + c - b = a+c = 0$。よって、$c = -a$。

$f(x) = ax^3 + bx^2 - ax - b = a(x^3 - x) + b(x^2 - 1)$。

基底は $x^3 - x$, $x^2 - 1$。 次元は2。

3. 最終的な答え

(1) 次元: 2, 基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) 次元: 2, 基底: $\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) 次元: 1, 基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$

(4) 次元: 2, 基底: $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(5) 次元: 2, 基底: $x^3 - 2x^2 + x, 2x^3 - 3x^2 + 1$

(6) 次元: 2, 基底: $x^3 - x, x^2 - 1$