与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。

代数学線形代数行列対角化固有値固有ベクトル
2025/8/4

1. 問題の内容

与えられた行列 A=(1225)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。
行列 AA の固有方程式は、det(AλI)=0\det(A - \lambda I) = 0 で与えられる。ここで II は単位行列である。
det(1λ225λ)=(1λ)(5λ)(2)(2)=λ26λ+5+4=λ26λ+9=(λ3)2=0\det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 \\ 2 & 5-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(5-\lambda) - (-2)(2) = \lambda^2 - 6\lambda + 5 + 4 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda - 3)^2 = 0
したがって、固有値は λ=3\lambda = 3 (重解) である。
(2) 固有ベクトルを求める。
固有値 λ=3\lambda = 3 に対応する固有ベクトル v\mathbf{v} を求める。
(A3I)v=0(A - 3I)\mathbf{v} = \mathbf{0} を解く。
(2222)(xy)=(00)\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
2x2y=0-2x - 2y = 0
x+y=0x + y = 0
x=yx = -y
したがって、固有ベクトルは v=(11)t\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} tttは任意のスカラー)である。
(3) 対角化可能性の判定
固有値3に対応する固有空間の次元は1であり、固有値の重複度2よりも小さい。したがって、行列AAは対角化不可能である。

3. 最終的な答え

行列 (1225)\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} は対角化不可能である。

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