与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。
2025/8/4
1. 問題の内容
与えられた行列 が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。
2. 解き方の手順
(1) 固有値を求める。
行列 の固有方程式は、 で与えられる。ここで は単位行列である。
したがって、固有値は (重解) である。
(2) 固有ベクトルを求める。
固有値 に対応する固有ベクトル を求める。
を解く。
したがって、固有ベクトルは (は任意のスカラー)である。
(3) 対角化可能性の判定
固有値3に対応する固有空間の次元は1であり、固有値の重複度2よりも小さい。したがって、行列は対角化不可能である。
3. 最終的な答え
行列 は対角化不可能である。