2次関数 $y = -x^2 + (m-10)x - m - 14$ のグラフについて、以下の条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める。 (1) $x$軸の正の部分と負の部分で交わる。 (2) $x$軸の負の部分とのみ共有点をもつ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + (m-10)x - m - 14$ のグラフについて、以下の条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める。

(1) $x$軸の正の部分と負の部分で交わる。

(2) $x$軸の負の部分とのみ共有点をもつ。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸の正の部分と負の部分で交わる条件

2次関数のグラフが$x$軸の正の部分と負の部分で交わるということは、$x = 0$ のとき、$y < 0$ となることを意味する。

したがって、

$y(0) = -0^2 + (m-10)(0) - m - 14 = -m - 14 < 0$

$-m < 14$

$m > -14$

(2) $x$軸の負の部分とのみ共有点をもつ条件

2次関数 $y = -x^2 + (m-10)x - m - 14$ と $x$ 軸との共有点の方程式は、

$-x^2 + (m-10)x - m - 14 = 0$

$x^2 - (m-10)x + m + 14 = 0$

この方程式が$x$軸の負の部分とのみ共有点をもつ条件は、判別式$D$について、$D = 0$で、かつ解が負であるか、$D > 0$で2つの負の解を持つ場合。

まずは判別式を計算する。

$D = (m-10)^2 - 4(m+14) = m^2 - 20m + 100 - 4m - 56 = m^2 - 24m + 44$

2つの解が負である条件は、解の公式から

$x = \frac{(m-10) \pm \sqrt{m^2 - 24m + 44}}{2}$

解が負であるためには、$D \geq 0$、$\frac{m-10}{2} < 0$ かつ $\frac{m+14}{1} > 0$ であれば良い。

$\frac{m-10}{2} < 0$ より $m < 10$

$\frac{m+14}{1} > 0$ より $m > -14$

また、$D = 0$ の時は、$m^2 - 24m + 44 = 0$ となる。

これを解くと、$m = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 44}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 176}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{24 \pm 20}{2} = 12 \pm 10$

$m = 2, 22$

$m = 2$ のとき $x = \frac{2-10}{2} = -4$ (負の解)

$m = 22$ のとき $x = \frac{22-10}{2} = 6$ (正の解)

よって、$m=2$ は条件を満たす。

$D > 0$ のとき、$m^2 - 24m + 44 > 0$ を解く。

$(m - 2)(m - 22) > 0$ より $m < 2$ または $m > 22$

解の和は $m-10$ であり、解の積は $m+14$ である。

2つの解が負であるためには、$m-10 < 0$ かつ $m+14 > 0$ である必要がある。

$m < 10$ かつ $m > -14$

よって、$-14 < m < 10$

$m < 2$ または $m > 22$ と $-14 < m < 10$ を満たすのは、$-14 < m < 2$

$m=2$ と $-14 < m < 2$ より、 $-14 < m \leq 2$

3. 最終的な答え

(1) $m > -14$

(2) $-14 < m \leq 2$