数列 $\{a_n\}$ があり、$b_n = \log a_n$ と定義されている。$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ の積が $(a_n)^k$ となるような関係があり、$\log a_1 + \log a_2 + \dots + \log a_n = n^2 \log a_n$ という関係もある。このとき、$b_n$ の一般項を求める問題である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、$b_n = \log a_n$ と定義されている。$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ の積が $(a_n)^k$ となるような関係があり、$\log a_1 + \log a_2 + \dots + \log a_n = n^2 \log a_n$ という関係もある。このとき、$b_n$ の一般項を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $b_n$ を用いて書き換える。

$a_1 a_2 \dots a_n = (a_n)^k$ より、両辺の対数をとると

$\log(a_1 a_2 \dots a_n) = \log((a_n)^k)$

$\log a_1 + \log a_2 + \dots + \log a_n = k \log a_n$

$b_1 + b_2 + \dots + b_n = k b_n$

また、与えられた式

$\log a_1 + \log a_2 + \dots + \log a_n = n^2 \log a_n$ は

$b_1 + b_2 + \dots + b_n = n^2 b_n$

と書き換えられる。

したがって、$k b_n = n^2 b_n$ である。

$n=1$ のとき、$b_1 = k b_1 = 1^2 b_1$ より、$b_1 = b_1$

$n=2$ のとき、$b_1 + b_2 = k b_2 = 2^2 b_2 = 4b_2$ より、$b_1 = 3 b_2$

$n \ge 2$ について、$b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1} = (n-1)^2 b_{n-1}$ が成り立つと仮定すると、

$b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1} + b_n = n^2 b_n$ より、

$(n-1)^2 b_{n-1} + b_n = n^2 b_n$

$(n-1)^2 b_{n-1} = (n^2 - 1) b_n = (n-1)(n+1) b_n$

$b_{n-1} = \frac{n+1}{n-1} b_n$

したがって、$b_n = \frac{n-1}{n+1} b_{n-1}$ である。

$b_n = \frac{n-1}{n+1} \frac{n-2}{n} \frac{n-3}{n-1} \dots \frac{1}{3} b_1 = \frac{2 b_1}{n(n+1)}$

また、$b_1 = 3 b_2$ より、$b_2 = \frac{b_1}{3}$

$b_n = \frac{n-1}{n+1} b_{n-1} = \frac{n-1}{n+1} \dots \frac{2}{4} \frac{1}{3} b_1 = \frac{2}{n(n+1)} b_1$.

3. 最終的な答え

$b_n = \frac{2 b_1}{n(n+1)}$