(1) 3次式 $x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2$ を因数分解せよ。 (2) $x$ に関する方程式 $x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2 = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 3次式 $x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2$ を因数分解せよ。

(2) $x$ に関する方程式 $x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2 = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を用いる。$P(x) = x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2$ とおく。

$P(-1) = (-1)^3 - (2a-1)(-1)^2 - 2(a-1)(-1) + 2 = -1 - (2a-1) + 2(a-1) + 2 = -1 - 2a + 1 + 2a - 2 + 2 = 0$.

よって、$x+1$ は $P(x)$ の因数である。

$P(x)$ を $x+1$ で割ると、

$x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2 = (x+1)(x^2 - 2ax + 2)$.

(2) (1)より、$x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2 = (x+1)(x^2 - 2ax + 2) = 0$。

$x=-1$ は解の一つであるから、もう一つの2次方程式 $x^2 - 2ax + 2 = 0$ が $-1$ と異なる2つの実数解を持てばよい。

$f(x) = x^2 - 2ax + 2$ とおくと、

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + 2 = 1 + 2a + 2 = 2a + 3 \ne 0$ より、$a \ne -\frac{3}{2}$.

また、$f(x)=0$ が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ が必要である。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(2) = 4a^2 - 8 > 0$

$a^2 > 2$

$a < -\sqrt{2}, a > \sqrt{2}$

したがって、$a < -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2} < a < -\sqrt{2}, a > \sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)(x^2 - 2ax + 2)$

(2) $a < -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2} < a < -\sqrt{2}, a > \sqrt{2}$