行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}$ が与えられている。 (1) 行列 $A$ の行列式の値を求める。 (2) 行列 $A$ の逆行列を求める。 (3) 行列 $B$ の転置行列 $^tB$ を求める。 (4) $^tBB$ のトレースを求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}$ が与えられている。

(1) 行列 $A$ の行列式の値を求める。

(2) 行列 $A$ の逆行列を求める。

(3) 行列 $B$ の転置行列 $^tB$ を求める。

(4) $^tBB$ のトレースを求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式は、

$\det(A) = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$

(2) 行列 $A$ の逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) 行列 $B$ の転置行列 $^tB$ は、行と列を入れ替えることで得られる。

$^tB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}$

(4) $^tBB$ を計算する。

$^tBB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+64+36 & 21-8-12 & 15-32+54 \\ 21-8-12 & 49+1+4 & 35+4-18 \\ 15-32+54 & 35+4-18 & 25+16+81 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 109 & 1 & 37 \\ 1 & 54 & 21 \\ 37 & 21 & 122 \end{bmatrix}$

トレースは対角成分の和なので、

$\text{Tr}(^tBB) = 109 + 54 + 122 = 285$

3. 最終的な答え

(1) $A$ の行列式: -1

(2) $A$ の逆行列: $\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) $B$ の転置行列: $\begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}$

(4) $^tBB$ のトレース: 285