行列 $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

1. 問題の内容

行列 $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

2x2の行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の逆行列は、行列式 $\det(A) = ad - bc$ が0でないとき、次の式で与えられます。

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

まず、$P$ の行列式を計算します。

$\det(P) = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1$

次に、$P^{-1}$ を計算します。

$$P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

3. 最終的な答え

$P^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$