行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めよ。 (1) $(AB)^{-1}$ (2) $B^{-1}A^{-1}$ (3) $A^{-1}B^{-1}$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めよ。

(1) $(AB)^{-1}$

(2) $B^{-1}A^{-1}$

(3) $A^{-1}B^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) $(AB)^{-1}$ を求める。

まず、$AB$ を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 5 + 2 \cdot 2 & 0 \cdot (-3) + 2 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 & 3 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 13 & -8 \end{pmatrix}$

次に、$(AB)^{-1}$ を計算する。

$(AB)^{-1} = \frac{1}{\det(AB)} \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -13 & 4 \end{pmatrix}$

$\det(AB) = 4 \cdot (-8) - (-2) \cdot 13 = -32 + 26 = -6$

$(AB)^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -13 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1}A^{-1}$ を求める。

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ が成り立つことを利用する。

よって、$B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(3) $A^{-1}B^{-1}$ を求める。

まず、$A^{-1}$ と $B^{-1}$ を計算する。

$\det(A) = 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 = -6$

$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

$\det(B) = 5 \cdot (-1) - (-3) \cdot 2 = -5 + 6 = 1$

$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

$A^{-1}B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6}(-1) + \frac{1}{3}(-2) & \frac{1}{6}(3) + \frac{1}{3}(5) \\ \frac{1}{2}(-1) + 0(-2) & \frac{1}{2}(3) + 0(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} - \frac{2}{3} & \frac{1}{2} + \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(3) $A^{-1}B^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$