与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。 (2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ なので、行列式 $|A| = 3 \cdot (-1) - 0 \cdot 2 = -3$ です。

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}$ となります。

$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、

$A^{-1}AX = A^{-1}B$ となり、$IX = A^{-1}B$、すなわち $X = A^{-1}B$ となります。

$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \cdot 3 + 0 \cdot (-1) & \frac{1}{3} \cdot (-1) + 0 \cdot 2 \\ \frac{2}{3} \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) & \frac{2}{3} \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 2+1 & -\frac{2}{3} - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

$B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求めます。

$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ なので、行列式 $|B| = 3 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 6 - 1 = 5$ です。

したがって、$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$ となります。

$YB = A$ の両辺に右から $B^{-1}$ をかけると、

$YBB^{-1} = AB^{-1}$ となり、$YI = AB^{-1}$、すなわち $Y = AB^{-1}$ となります。

$Y = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot \frac{2}{5} + 0 \cdot \frac{1}{5} & 3 \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot \frac{3}{5} \\ 2 \cdot \frac{2}{5} + (-1) \cdot \frac{1}{5} & 2 \cdot \frac{1}{5} + (-1) \cdot \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} - \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $Y = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$