与えられた行列 A, B, C, D がそれぞれどのような行列であるかを選択肢の中から選びます。選択肢は、(1)単位行列、(2)対称行列、(3)交代行列、(4)対角行列、(5)正則行列、(6)零行列です。 行列は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 A, B, C, D がそれぞれどのような行列であるかを選択肢の中から選びます。選択肢は、(1)単位行列、(2)対称行列、(3)交代行列、(4)対角行列、(5)正則行列、(6)零行列です。

行列は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

各行列について、選択肢に当てはまるかどうか確認します。

* **A**:

* 単位行列ではありません。

* 対称行列かどうか確認します。対称行列とは、$A = A^T$を満たす行列です。$A^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$なので、$A = A^T$を満たし、対称行列です。

* 交代行列ではありません。

* 対角行列ではありません。

* 正則行列かどうか確認します。正則行列とは、行列式が0でない行列です。$\det(A) = (3)(-2) - (1)(1) = -6 - 1 = -7 \neq 0$なので、正則行列です。

* 零行列ではありません。

* **B**:

* 単位行列ではありません。

* 対称行列かどうか確認します。$B^T = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$なので、$B \neq B^T$を満たさず、対称行列ではありません。

* 交代行列かどうか確認します。交代行列とは、$B = -B^T$を満たす行列です。$-B^T = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = B$なので、交代行列です。

* 対角行列ではありません。

* 正則行列かどうか確認します。$\det(B) = (0)(0) - (-2)(2) = 4 \neq 0$なので、正則行列です。

* 零行列ではありません。

* **C**:

* 単位行列ではありません。

* 対称行列です。

* 交代行列です。

* 対角行列です。

* 正則行列ではありません。$\det(C) = 0$です。

* 零行列です。

* **D**:

* 単位行列です。

* 対称行列です。

* 交代行列ではありません。

* 対角行列です。

* 正則行列です。$\det(D) = 1$です。

* 零行列ではありません。

3. 最終的な答え

A: 対称行列、正則行列

B: 交代行列、正則行列

C: 零行列

D: 単位行列、対称行列、対角行列、正則行列