数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 2$ および漸化式$a_{n+1} = 4a_n + 3$によって定義されるとき、一般項$a_n$を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 2$ および漸化式$a_{n+1} = 4a_n + 3$によって定義されるとき、一般項$a_n$を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を$a_{n+1} + \alpha = 4(a_n + \alpha)$の形に変形することを考えます。

$a_{n+1} = 4a_n + 3$と$a_{n+1} + \alpha = 4(a_n + \alpha)$を比較すると、

$4\alpha - \alpha = 3$となり、$3\alpha = 3$なので、$\alpha = 1$となります。

したがって、漸化式は

$a_{n+1} + 1 = 4(a_n + 1)$

と変形できます。

$b_n = a_n + 1$とおくと、$b_{n+1} = 4b_n$となり、数列$\{b_n\}$は公比4の等比数列であることがわかります。

初項は、$b_1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3$となります。

よって、$b_n = 3 \cdot 4^{n-1}$と表されます。

$a_n = b_n - 1$なので、$a_n = 3 \cdot 4^{n-1} - 1$となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 4^{n-1} - 1$

よって、選択肢の⑥が正解です。