$\theta$は鋭角であるとき、以下の問題を解く。 (1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (2) $\tan \theta = 3$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であるとき、以下の問題を解く。

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

(2) $\tan \theta = 3$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ のとき

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

次に、$\tan \theta$ を求める。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\tan \theta = 3$ のとき

三角関数の相互関係 $\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + \tan^2 \theta$ を利用する。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

次に、$\sin \theta$ を求める。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan \theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$